∞
Найти область сходимости степенного ряда ∑ nˆ3(x+3)ˆ2n+1/(n+1)!
n = 1
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Для знаходження області збіжності степеневого ряду можна скористатися ознакою Даламбера або ознакою Коші-Адамара.
Ознака Даламбера:
Нехай задано степеневий ряд ∑a_nx^n. Якщо існує границя
lim |a_{n+1}x^{n+1}/a_nx^n| = lim |a_{n+1}/a_n||x| = L,
то ряд збігається абсолютно при |x|<1/L та розбігається при |x|>1/L.
Обчислимо границю за ознакою Даламбера для даного ряду:
lim |a_{n+1}x^{n+1}/a_nx^n| = lim |(n+1)^3*(x+3)^{2(n+1)+1}/(n+2)!n^3(x+3)^{2n+1}|
= lim |(n+1)/(n+2)|*|(x+3)^2| = |x+3|^2.
Отже, за ознакою Даламбера ряд збігається абсолютно при |x+3|^2<1, тобто при -2<x<-4.
Ознака Коші-Адамара:
Нехай задано степеневий ряд ∑a_n*x^n. Якщо існує границя
L = lim sup |a_n|^(1/n),
то ряд збігається абсолютно при |x|<1/L та розбігається при |x|>1/L.
Обчислимо границю за ознакою Коші-Адамара для даного ряду:
L = lim sup |a_n|^(1/n) = lim sup ((n^3*(x+3)^(2n+1))/(n+1)!)^(1/n)
= lim sup ((n^3*(x+3)^2)/(n+1))^(1/n) = |x+3|^2.
Отже, за ознакою Коші-Адамара ряд збігається абсолютно при |x+3|^2<1, тобто при -2<x<-4.
Отже, область збіжності даного степеневого ряду складається з усіх точок з інтервалу (-4, -2).