Дослідити і описати функцію y=4x²-x⁴
Ответы
Ответ:
1. ОДЗ: х ∈ R.
2. функция четная.
3. у = 0 ⇒ х = 0; х = 2; х = -2.
х = 0 ⇒ у = 0
4. Функция непрерывна, асимптот нет
5. Функция возрастает на промежутках: [-√2; 0]; [√2; +∞).
Функция убывает на промежутках: (-∞; -√2]; [0; √2].
x min = ±√2; x max = 0.
6. Вогнута на промежутках:
Выпукла на промежутках:
х перегиба =
Объяснение:
Исследовать функцию и построить график:
у = х⁴ - 4х²
1. ОДЗ: х ∈ R.
2. Четность, нечетность.
Если у(-х) = у(х) - функция четная, если у(-х) = -у(х) - функция нечетная.
у(-х) = (-х)⁴ - 4(-х)² = х⁴ - 4х²
у(-х) = у(х) ⇒ функция четная.
3. Пересечение с осями координат.
1) с осью 0х ⇒ у = 0
х⁴ - 4х² = 0
х² (х - 2)(х + 2) = 0
х = 0; х = 2; х = -2.
2) с осью 0у ⇒ х = 0
у = 0.
4. Функция непрерывна, асимптот нет.
5. Возрастание, убывание, экстремумы.
Найдем производную:
y' = 4x³ - 4 · 2x = 4x (x² - 2) = 4x(x - √2)(x + √2)
Приравняем производную к нулю и найдем корни.
Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.
Если ПЛЮС, то функция возрастает; МИНУС - убывает.
4x(x - √2)(x + √2) = 0
х = 0; х = √2; х = -√2
См. вложение.
Функция возрастает на промежутках: [-√2; 0]; [√2; +∞).
Функция убывает на промежутках: (-∞; -√2]; [0; √2].
Если производная меняет знак с ПЛЮСА на МИНУС, то в этой точке - max, если с МИНУСА на ПЛЮС - min.
⇒ x min = ±√2; x max = 0.
y(±√2) = -4; y(0) = 0.
6. Выпуклость, вогнутость.
Найдем производную второго порядка:
y'' = 4 · 3x² - 8 = 4(3x² - 2)
Приравняем вторую производную к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и найдем знаки на промежутках.
Если ПЛЮС - вогнута; МИНУС - выпукла.
3х² - 2 = 0
См. вложение.
Вогнута на промежутках:
Выпукла на промежутках:
х перегиба =
у перегиба =
Строим график.
Надеюсь помогла)))
