Question

Діагональ рівнобічної трапеції ділить висоту, проведену з вершини тупого кута,
на відрізки завдовжки 5 і 4 см, а бічна сторона трапеції дорівнює її менший основі.
Знайдіть площу трапеції

Answer 1

Відповідь:

S = 243 см²

Покрокове пояснення:

Дано:

АВСD - рівнобічна трапеція

BC║AD;  

AB = BC = CD;

BK⊥AD;  

BL = 5 см; LE = 4 см

Розв"язок :

Формула площі трапеції :

$\displaystyle S = \frac{a+b}{2}*h$

в нашому випадку :

$\displaystyle S = \frac{BC +AD}{2}*BE$

Нам потрібно знайти ВС та AD.

Припустимо AB = BC = CD = х.

∠ALE = ∠CLB  яквертикальні.

∠LBC = ∠AEL = 90° оскільки ΔAEL и ΔLBC - прямокутні.

Отже ΔALE подібен до  ΔBLC за першою ознаю подібності ( за двома кутами).

Тоді :

$\displaystyle\frac{LE}{LB}=\frac{AE}{BC}$

звідки :

$\displaystyle AE = \frac{LE *BC}{LB}=\frac{4*x}{5}=\frac{4}{5}x$

Оскільки ВЕ - висота , то ΔАВЕ . Скористаємося т. Піфагора і знайдемо  АВ

АВ² = ВЕ² + АЕ²

$\displaystyle x^{2} = ( 5+4)^{2} +(\frac{4}{5}x)^2\\ \\ x^2=9^2+\frac{16}{25}x^{2} \\ \\ x^2-\frac{16}{25}x^{2} =81\\ \\ \frac{9}{25}x^{2} =81\\ \\ x^{2} =81 :\frac{9}{25}\\ \\ x^{2} =81 * \frac{25}{9}\\ \\x^{2} =9*25\\ \\x=3*5=15$

Маємо AB = BC = CD = 15 см, тоді

АЕ = 4/5 * 15 =4*3= 12 см

Знайдемо AD

AD = 2* AE + BC = 2*12 + 15 = 24+15 = 39 см

Можемо знайти площу трапеції:

$\displaystyle S = \frac{BC +AD}{2}*BE = \frac{15+39}{2}*9= 243$

S = 243 см²