Дан треугольник АВС с вершинами А(2; 1; -4), В(4; 0; -2) , С(0; -3; 0) .
Найдите:
1) cos угол A
2) угол между медианой AA1 и стороной BC;
3) длину медианы АА1;
4) координаты точки пересечения медианы данного треугольника.
Ответы
Відповідь:
Пояснення:
Для знаходження cos кута А скористаємося формулою скалярного добутку векторів:
cos A = (BC * BA) / (|BC| * |BA|), де BC і BA - відповідно вектори, що задають сторони ВС і АВ, |BC| та |BA| - їх довжини.
BC = C - B = (0, -3, 0) - (4, 0, -2) = (-4, -3, 2)
BA = A - B = (2, 1, -4) - (4, 0, -2) = (-2, 1, -2)
|BC| = √((-4)^2 + (-3)^2 + 2^2) = √29
|BA| = √((-2)^2 + 1^2 + (-2)^2) = 3
Тоді cos A = (-4*(-2) + (-3)1 + 2(-2)) / (3 * √29) = -19 / (3√29)
Медіана АА1 - це вектор, що сполучає вершину А з серединою сторони BC.
Знайдемо координати середини сторони ВС:
B1 = (C + B) / 2 = (0, -3, 0) + (4, 0, -2) / 2 = (2, -3/2, -1)
Тоді вектор медіани АА1 дорівнює
AA1 = B1 - A = (2, -3/2, -1) - (2, 1, -4) = (0, -5/2, 3)
Щоб знайти кут між медіаною і стороною, можемо скористатися формулою скалярного добутку векторів:
cos α = (AA1 * BC) / (|AA1| * |BC|)
|AA1| = √(0^2 + (-5/2)^2 + 3^2) = √29/2
Тоді cos α = (0*(-4) + (-5/2)(-3) + 32) / (√29/2 * √29) = -3/2√2
Оскільки кут між векторами завжди заданий за формулою cos α = (вектор1 * вектор2) / (|вектор1| * |вектор2|), то використовуючи арккосинус, знайдемо шуканий кут:
α = arccos(-3/2√2) ≈ 122.48°
Довжина медіани АА1 дорівнює |AA1|, що ми вже знайшли раніше: √29/2.
Точка перетину м