С каждым трехзначным числом проводится такая операция: цифры десятков и единиц в его десятичной записи меняют местами, после чего находят модуль разности исходного и полученного числа. Какое количество полученных в результате чисел делится без остатка на 72?
Ответы
Ответ:
36
Пошаговое объяснение:
пусть a, b, c ∈N и a, b, c ≤9, a≠0, тогда наше трехзначное число A можно записать так:
A=100a+10b+c.
Поменяем местами цифры десятков и единиц, и получим число B:
B=100a+10c+b.
Найдем число С, как модуль разности A и B:
С=IA-BI=I100a+10b+c-(100a+10c+b)I=I9b-9cI=9*Ib-cI
Чтобы число С делилось на 72 необходимо и достаточно, чтобы Ib-cI равнялось 8.
Запишем это, вспомнив, что b и c - цифры:
Ib-cI=8;
несложно методом подбора решить это уравнение:
b=9; c=1;
b=8; c=0;
b=1; c=9;
b=0; c=8.
Т.о. получаем четыре варианта двух последних цифр трехзначного числа. А т.к. первая цифра может быть любой (кроме цифры 0), то всего искомых трехзначных чисел может быть 9*4=36.
Примеры чисел:
191, 180, 119, 108
291, 280, 219, 208
...
991, 980, 919, 908