Question

найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальное условие

Answer 1

Решить дифференциальное уравнение
 (xy' - 1)ln(x) = 2y
 xy' -1 = 2y/ln(x)
 y' - 2y/(xln(x)) - 1/x = 0
 Получили линейное дифференциальное уравнение
 Решим методом Лагранжа
  Решаем вначале уравнение
 y' - 2y/(xln(x)) = 0
 y' = 2y/(xln(x))
 y'/y = 2/(xln(x))
 dy/y = 2dx/(xln(x))
 ln(y) = 2ln(ln(x)) + ln(C²)
  y = Cln²(x)
  Заменяем C на C(x) то есть решение дифференциального уравнения
  y' - 2y/(xln(x)) - 1/x = 0 ищем в виде
  y = C(x)ln²(x)
  y' = С'(x)ln²(x) + 2C(x)ln(x)/x
  Подставляем в дифференциальное уравнение
  С'(x)ln²(x) + 2C(x)ln(x)/x - 2С(x)ln²(x)/(xln(x)) - 1/x = 0
  С'(x)ln²(x) + 2C(x)ln(x)/x - 2С(x)ln(x)/x - 1/x = 0
  С'(x)ln²(x) - 1/x = 0
  С'(x)ln²(x) = 1/x
  С'(x) = 1/(xln²(x))
  dC(x) = dx/(xln^2(x))
  Интегрируем обе части уравнения
  С(x) = -1/ln(x) + C
  Запишем общее решение дифференциального уравнения
  y = (-1/ln(x) + C)ln²(x) = -ln(x) + Cln²(x)
  Найдем частное решение при y(e)=0
  y(e)=-ln(e) + Cln²(e) = -1 +C*1² = C - 1
  C - 1 = 0
  C = 1
  Запишем частное решение дифференциального уравнения
  y = ln²(x) - ln(x)
 
  Ответ: y = ln²(x) - ln(x)