Question

решить дифференциальное уравнение

Answer 1

Решить дифференциальное уравнение
 xy' + y(ln(y/x) - 1) = 0
 y' + (y/x)(ln(y/x) - 1) =0
 y' = (y/x)(1 - ln(y/x))
 Получили однородное дифференциальное уравнение так как
 функция (y/x)(1-ln(y/x)) однородная нулевого порядка
 или если подставить вместо х и у kx и ky то получим
 (ky/kx)(1 - ln(ky/kx)) =(k^0)*(y/x)(1 - ln(y/x))

 Положим y = ux или u = y/x, y' = xu'+ u
 Подставим в исходное уравнение
 xu'+ u = u(1 - ln(u))
 xu' = u - uln(u) - u
 xu' = uln(u)
 Получили уравнение с разделяющимися переменными
 u'/(uln(u)) = 1/x
 du/(uln(u)) = dx/x
 Интегрируем обе части уравнения
 ln(ln(u)) =ln(x) + ln(C)
  ln(u) = Cx
  u = e^(Cx)
  Находим общее решение исходного уравнения
  у = xu = xe^(Cx)
Ответ: у =  xe^(Cx)