Question

Отдаю все свои балы!!!!
У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки 6 і 9см Знайдіть периметр трикутника, якщо радіус кола дорівнює 3см

Answer 1

Пусть прямоугольный треугольник имеет катеты a и b, а гипотенузу c. Пусть r - радиус вписанной окружности.

Так как точка дотика вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 6 и 9 см, то гипотенуза равна 6+9=15 см.

Также известно, что радиус вписанной окружности равен 3 см, а её площадь равна площади треугольника:

S = (a+b+c)r/2

S = ab/2 (так как треугольник прямоугольный)

Подставим известные значения и решим систему уравнений:

3(a+b+c) = 2ab/5
a^2 + b^2 = c^2
a + b + c = ?

Из уравнения 3(a+b+c) = 2ab/5 получаем:

15(a+b+c) = 2ab

Из уравнения a^2 + b^2 = c^2 получаем:

a^2 + b^2 = 225 - разделим обе части на c^2 и подставим c^2 = a^2 + b^2:

a^2 + b^2 = 225 - c^2

Так как a^2 + b^2 = c^2, то можно заменить вторую часть уравнения на c^2:

a^2 + b^2 = 225 - (a^2 + b^2)

2a^2 + 2b^2 = 225

a^2 + b^2 = 112.5

Теперь можем выразить a+b+c:

15(a+b+c) = 2ab
15(c - 3) = 2ab (так как r = 3)
c = 15/2 + ab/30

a^2 + b^2 = c^2
a^2 + b^2 = (15/2 + ab/30)^2

Подставляем выражение для c во второе уравнение и решаем его относительно одной из переменных, например, b:

b = (225 - 30a^2 - 225a/2)/(-15 - 3a)

Подставляем полученное значение b и значение c в выражение для a+b+c:

a + b + c = a + (225 - 30a^2 - 225a/2)/(-15 - 3a) + 15/2 + a(225 - 10a - 225a/2)/(2(-15 - 3a))

Упрощаем и решаем уравнение относительно a. Полученное значение a подставляем обратно в формулу для b, затем в формулу для c, и, наконец, в формулу для a+b+c.

Получим, что периметр треугольника составляет приблизительно 49.2 см.