Question

АВСД-трапеция,ВС паралельна АД,О-точка пересечения ее диагоналей, АС перпендикулярна ВД,Площадь ВОС=16 корней из 2,площадь АОД 36 корней из 2,АВ=СД.Найдите площадь треугольника АОВ

Answer 1

Поскольку треугольники АОД и ВОС подобны, то их площади относятся как квадраты сходственных сторон, то есть Sаод/Sвос=ОДквадрат/ОВквадрат=36 корней из2/16 корней из 2=9/4.  Отсюда АО/ОС=ОД/ОВ=3/2.  Пусть АС=Х, ВД=У. Тогда ОВ=2/5*У, ОС=2/5*Х, АО=3/5*Х. Поскольку диагонали перпендикулярны, то треугольники ВОС и АОВ прямоугольные. Sвос=1/2*(2/5*Х)*(2/5*У)=16 корней из 2. Отсюда Х*У=200корней из2. Sаов=1/2*(3/5*X)*(2/5*У)=3/25*Х*У==3/25*(200 корней из 2)=24 корня из 2.