Question

помогите пж
докажите неравенство
(1-a)(1-b)(1-c)>=8abc(a>=0,b>=0,c>=0,a+b+c=1)​

Answer 1

Начнем с левой стороны неравенства:

(1-a)(1-b)(1-c)

Раскроем скобки:

1 - a - b + ab - c + ac + bc - abc

Мы можем переписать это выражение в виде:

1 - (a + b + c) + (ab + ac + bc) - abc

Так как a + b + c = 1, мы можем заменить a + b на (1 - c) и a + c на (1 - b):

1 - (1 - c + c) + (ab + ac + bc) - abc

Упростим:

ab + ac + bc - abc

Мы можем вынести общий множитель abc из первых трех слагаемых:

ab + ac + bc - abc = abc(a/b + a/c + b/c - 1)

Так как a, b и c неотрицательны, то a/b, a/c и b/c также неотрицательны. Мы можем применить неравенство о средних арифметическом и геометрическом для трех неотрицательных чисел:

(a/b + a/c + b/c) / 3 ≥ (a/b × a/c × b/c)^(1/3)

(a/b + a/c + b/c) ≥ 3(abc)^(1/3)

Таким образом, мы можем заменить a/b + a/c + b/c на 3(abc)^(1/3):

abc(a/b + a/c + b/c - 1) ≥ abc(3(abc)^(1/3) - 1)

Упростим:

abc(a/b + a/c + b/c - 1) ≥ abc(3(abc)^(1/3) - 1)

abc(a/b + a/c + b/c - 1) ≥ abc(3(abc)^(1/3) - 1)

(a/b + a/c + b/c - 1) ≥ 3(abc)^(1/3) - 1

Таким образом, мы доказали, что (1-a)(1-b)(1-c) ≥ 8abc.

Ответ: (1-a)(1-b)(1-c) ≥ 8abc, если a, b и c неотрицательны и a + b + c = 1.