Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. Через вершини середнього за величиною кута кута трикутника до його площини проведено перпендикуляр, довжина якого – 16 см. Знайти відстань від кінців перпендикуляра до протилежної сторони трикутника.
Ответы
Застосуємо формулу для обчислення площі трикутника, що містить дві сторони a і b і кут між ними C:
S = (1/2)ab sin(C)
Для знаходження висоти трикутника, опущеної на сторону c, застосуємо формулу:
h = 2S/c
Знайдемо спочатку площу трикутника за допомогою формули Герона:
s = (a+b+c)/2 = (13+14+15)/2 = 21
S = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) = √(21×8×7×6) / 4 = 84/2 = 42
Застосуємо формулу для знаходження висоти, що опущена на сторону довжиною 15 см:
h = 2S/c = 2×42/15 = 28/5
Тепер знайдемо відстань від кінців перпендикуляра до протилежної сторони трикутника. Розглянемо трикутник, утворений вершинами середнього за величиною кута трикутника та точками дотику перпендикуляра до сторін трикутника. Оскільки цей трикутник є прямокутним, то відстань від кінців перпендикуляра до протилежної сторони трикутника дорівнює відрізку, який є проекцією перпендикуляра на цю сторону трикутника. Розглянемо також прямокутний трикутник, утворений стороною трикутника, яка є основою перпендикуляра, самим перпендикуляром та відрізком протилежної сторони трикутника, який проходить через точки дотику перпендикуляра до сторін трикутника. Тоді відстань від кінців перпендикуляра до протилежної сторони трикутника можна знайти за допомогою подібності трикутників:
16/h = 14/15
h = 240/14 = 120/7
Отже, відстань від кінців перпендикуляра до протилежної сторони трикутника дорівнює
120/7