Дано трикутник АВС і площину а, яка не перетинає його. Через вершини трикутника ABC і середину М його медіани BD проведено паралельні прямі, які перетинають площину а в точках 41, В1, С, і М, відповідно. Знайдіть довжину відрізка ММ, якщо AA1 =9см, ВВ1 = 12 см, СС1 = 19 см.
Ответы
Ответ:
Для розв'язання цієї задачі ми можемо скористатися властивістю медіани трикутника, що говорить про те, що медіана ділить сторону трикутника на дві рівні частини.
Позначимо середину сторони AB як N, тоді медіана BD проходить через точки N та M і ділить сторону AB на дві рівні частини. Аналогічно, медіана CE проходить через точки N та L і ділить сторону AC на дві рівні частини.
Також помітимо, що MM1 є серединним перпендикуляром до сторони BC, тому BM1 = CM1.
Тепер ми можемо скласти систему рівнянь, використовуючи дані про довжини відрізків АА1, ВВ1 та СС1:
AA1 = 9 = BN + NM + MC
BB1 = 12 = AN + NM + CL
CC1 = 19 = AL + LM + BM1 (або AL + LM + CM1)
Ми можемо виразити NM та LM з перших двох рівнянь та підставити їх у третє рівняння, отримаємо:
19 = AL + (9 - BN - MC) + (12 - AN - CL) + BM1
19 = AL + BM1 - BN - MC - AN - CL + 21
AL + BM1 = BN + MC + AN + CL
Але ми знаємо, що BM1 = CM1, тому ми можемо замінити BM1 на CM1, отримаємо:
AL + CM1 = BN + MC + AN + CL
Знову ж таки, з властивості медіани трикутника, ми знаємо, що AN = NC і BN = BM, тому ми можемо замінити ці вирази, отримаємо:
AL + CM1 = BM + MC + NC + CL
AL + CM1 = BC + LC
Отже, ММ1 = LC, тому що LC є відрізком, який з'єднує точки L та середину BC. Залишилося знайти довжину LC.
Ми можемо знайти довжини сторін трикутника ABC за формулою півпериметра:
p = (AB + BC + AC)/2
p = (9 + 12 + 19)/2 = 20