Question

СРОЧНО!
1. AD - большое основание трапеции ABCD. Найдите площадь трапеции, если площади треугольников ACD и DCB равны соответственно S1 и S2.
2. Вычислите:
$\frac{ \sin2 \alpha + 2 \cos2 \alpha }{ \cos2 \alpha }$
, если
$\tan \alpha = \frac{1}{2}$
,
$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$
3. Найдите неизвестную сторону x. (на фото)
​

Answer 1

Ответ:

1. Площадь трапеции равна (S₁ + S₂)

2. Значение выражения равно $\displaystyle 3\frac{1}{3}$ .

3. Неизвестная сторона х равна √62.

Объяснение:

1. AD - большое основание трапеции ABCD. Найдите площадь трапеции, если площади треугольников ACD и DCB равны соответственно S1 и S2.

S(ACD) = S₁;    S(DCB) = S₂.

• Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, опущенную на данную сторону.

$\displaystyle S(ACD)=\frac{1}{2}AD\cdot h$

$\displaystyle S(ABD)=\frac{1}{2}AD\cdot h$

⇒ S(ACD) = S(ABD)

S(ABCD) = S(ABD) + S(DCB) = S(ACD) + S(DCB) = S₁ + S₂

Площадь трапеции равна (S₁ + S₂)

2. Вычислите:

$\displaystyle \frac{sin2\alpha +2cos2\alpha }{cos2\alpha }$ , если $\displaystyle tg\alpha =\frac{1}{2} \;\;\;u\;\;\;0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$ .

Нам понадобятся формулы:

$\boxed {\displaystyle sin2\alpha =2sin\alpha \alpha \;cos\alpha }\\\\\boxed {\displaystyle cos2\alpha =cos^2\alpha -sin^2\alpha }\\\\\boxed {\displaystyle tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha } }$

Дана первая четверть ⇒ все тригонометрические функции положительны.

$\displaystyle \frac{sin2\alpha +2cos2\alpha }{cos2\alpha }=\frac{2sin\alpha \;cos\alpha +2(cos^2\alpha -sin^2\alpha )}{cos^2\alpha -sin^2\alpha } =$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вынесем в числителе общий множитель 2 и разделим числитель и знаменатель на cos²α:

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle =\frac{2(sin\alpha \;cos\alpha +cos^2\alpha -sin^2\alpha )}{cos^2\alpha -sin^2\alpha } =\frac{2\left(\frac{sin\alpha }{cos\alpha }+1-\frac{sin^2\alpha }{cos^2\alpha \right)} }{1-\frac{sin^2\alpha }{cos^2\alpha } } =\\\\\\=\frac{2(tg\alpha +1-tg^2\alpha )}{1-tg^2\alpha }$

Подставим значение тангенса 1/2:

$\displaystyle \frac{2\left(\frac{1}{2}+1-\frac{1}{4}\right) }{1-\frac{1}{4} } =\frac{2\cdot \frac{5}{4} }{\frac{3}{4} } =\frac{5\cdot 4}{2\cdot3}=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}$

Значение выражения равно $\displaystyle \bf 3\frac{1}{3}$ .

3. Найти неизвестную сторону х.

• Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

ΔВАЕ:   ВЕ² = ВА² + АЕ² = 48 + 1 = 49  

ΔBED:   BD² = BE² + ED² = 49 + 4 = 53

ΔBDC:   BC² = BD² + DC² = 53 + 9 = 62

⇒ x = BC = √62

Неизвестная сторона х равна √62.

#SPJ1