Question

Упростите выражение (cos(\alpha -(\pi )/(4)))/(\sqrt(1+2sin\alpha cos\alpha )), если (3\pi )/(4)<\alpha <(7\pi )/(4)

Answer 1

Ответ:

Для решения этой задачи воспользуемся тригонометрическими свойствами:

cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

cos(pi/4) = sin(pi/4) = 1/sqrt(2)

Также заметим, что:

sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

Тогда выражение можно переписать следующим образом:

(cos(α)cos(pi/4) + sin(α)sin(pi/4)) / sqrt(1 + 2sin(α)cos(α))

(cos(α)/sqrt(2) + sin(α)/sqrt(2)) / sqrt(1 + 2sin(α)cos(α))

(1/sqrt(2))(cos(α) + sin(α)) / sqrt(1 + 2sin(α)cos(α))

Далее заметим, что:

1 + 2sin(α)cos(α) = 1 + sin(2α)

sin(2α) = sin(α + α) = sin(α)cos(α) + cos(α)sin(α) = 2sin(α)cos(α)

Тогда выражение можно упростить:

(1/sqrt(2))(cos(α) + sin(α)) / sqrt(1 + sin(2α))

(1/sqrt(2))(cos(α) + sin(α)) / sqrt(1 + 2sin(α)cos(α))

(1/sqrt(2))(cos(α) + sin(α)) / sqrt(1 + sin(2α))

(1/sqrt(2))(cos(α) + sin(α)) / sqrt(1 - cos(2α))

Таким образом, мы получили упрощенное выражение для исходного выражения.