Question

Помогите пожалуйста решит интеграл ​

Answer 1

Ответ:

Интегрирование по частям:  $\bf \displaystyle \int u\, dv=uv-\int v\, du$   .

$\bf \displaystyle 9)\ \ \int \frac{x+3}{sin^2x}\, dx=\Big[\ u=x+3\ ,\ du=dx\ ,\ dv=\dfrac{dx}{sin^2x}\ ,\ v=-ctgx\ \Big]=\\\\\\=-(x+3)\, ctgx+\int ctgx\, dx=-(x+3)\, ctgx+\int \frac{cosx\, dx}{sinx}=\\\\\\=-(x+3)\, ctgx+\int \frac{d(sinx)}{sinx}=-(x+3)\, ctgx+ln|\, sinx\, |+C$

10)  Применим интегрирование по частям два раза .

$\bf \displaystyle \int e^{x}\cdot cosx\, dx=\Big[\ u=e^{x}\, ,\ du=e^{x}\, dx\ ,\ dv=cosx\, dx\ ,\ v=sinx\ \Big]=\\\\\\=e^{x}\cdot sinx-\int e^{x}\cdot sinx\, dx=\\\\\\=\Big[\ u=e^{x}\ ,\ du=e^{x}\, dx\ ,\ dv=sinx\, dx\ ,\ v=-cosx\ \Big]=\\\\\\=e^{x}\cdot sinx-\Big(-e^{x}\cdot cosx+\int e^{x}\cdot cosx\, dx\Big)=\\\\\\=e^{x}\cdot sinx+e^{x}\cdot cosx-\int e^{x}\cdot cosx\, dx\ \ \ \ \Rightarrow \\\\\\\int e^{x}\cdot cosx\, dx=e^{x}\cdot sinx+e^{x}\cdot cosx-\int e^{x}\cdot cosx\, dx$  

Перенесём интеграл из правой части равенства в левую, получим

$\bf \displaystyle 2\int e^{x}\cdot cosx\, dx=e^{x}\cdot sinx+e^{x}\cdot cosx\\\\\int e^{x}\cdot cosx\, dx=\frac{1}{2}e^{x}\cdot sinx+\frac{1}{2}e^{x}\cdot cosx\\\\\\\int e^{x}\cdot cosx\, dx=\frac{1}{2}\, e^{x}\cdot \Big(sinx+cosx\Big)$