Question

tg²36°×tg²72°=5



помогите пожалуйста
​

Answer 1

Ответ:Это уравнение верно. Для доказательства можно использовать тригонометрические тождества:

tg(2x) = 2tg(x)/(1-tg²(x)), где x - угол в градусах.

Применим это тождество дважды:

tg²(36°) = 2tg(18°)/(1-tg²(18°))

tg²(72°) = 2tg(36°)/(1-tg²(36°))

Подставим эти выражения в исходное уравнение и выполним необходимые алгебраические преобразования:

tg²(36°)×tg²(72°) = 5

2tg(18°)/(1-tg²(18°))×2tg(36°)/(1-tg²(36°)) = 5

4tg(18°)tg(36°)/((1-tg²(18°))(1-tg²(36°))) = 5

4tg(18°)tg(36°)/(1+tg²(18°))(1+tg²(36°))) = 5

4tg(18°)tg(36°)/(2-tg²(18°)-tg²(36°)) = 5

4tg(18°)tg(36°)/(2-tg²(54°)) = 5

Осталось заметить, что tg(54°) = tg(90°-36°) = 1/tg(36°), и заменить tg(36°) на x:

4tg(18°)x/(2-x²) = 5

4tg(18°)x = 5(2-x²)

tg(18°)x = (5/4)(2-x²)

tg²(18°)x² = (25/16)(2-x²)²

tg²(18°)x² = (25/16)(4-4x²+x⁴)

tg²(18°)x⁴ - 4tg²(18°)x² + (25/4)x² - 25 = 0

Решив это квадратное уравнение относительно x², получаем два корня: x² = 1 и x² = 25/9. Поскольку x < 1 (иначе тангенс не определен), то правильным ответом является x² = 25/9.

Пошаговое объяснение: