Площадь равнобедренного треугольника равна 1200 см2, а его основание – 60 см. Точка пространства удалена от каждой стороны треугольника на 39 см. Вычислите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.
ДАМ 30 БАЛЛОВ!!!
Ответы
Ответ:
Для начала найдем высоту равнобедренного треугольника через формулу:
h = √(a^2 - (b/2)^2), где a – основание, b – боковая сторона
Так как треугольник равнобедренный, то боковые стороны равны и обозначим их как x.
Тогда, подставив значения, получим:
h = √(60^2 - (x/2)^2)
Найдем b по теореме Пифагора для равнобедренного треугольника:
b^2 = x^2 - (x/2)^2
b^2 = 3/4 x^2
b = √(3/4 x^2) = √3/2 x
Теперь можем найти площадь треугольника через основание и высоту:
S = 1/2 ah
S = 1/2 * 60 * √(60^2 - (x/2)^2)
S = 900√(4-x^2/3600)
Из условия задачи известно, что площадь равна 1200 см2, поэтому можем записать уравнение:
900√(4-x^2/3600) = 1200
√(4-x^2/3600) = 4/3
4-x^2/3600 = 16/9
x^2/3600 = 5/9
x^2 = 2000
x = √2000 ≈ 44.7 см (боковая сторона)
Теперь можем найти высоту через формулу изначально выведенной:
h = √(60^2 - 22.35^2) ≈ 48.58 см
Осталось найти расстояние от точки до плоскости треугольника, для этого воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости:
d = |ax + by + cz + d0| / √(a^2 + b^2 + c^2), где a, b, c – коэффициенты плоскости, d0 – произвольный точка на плоскости.
Пусть точка на плоскости – вершина треугольника. Тогда координаты точки:
A(0,0,0), B(30, 44.7/2, 0), C(30, -44.7/2, 0)
Найдем коэффициенты плоскости через векторное произведение векторов AB и AC:
n = AB x AC = (44.7/2, -30, 0) x (-44.7/2, -30, 0) = (0, 0, 200.25)
a = 0, b = 0, c = 200.25
d0 = 0 (так как нулевая точка принята за вершину треугольника)
Таким образом, расстояние от произвольной точки, удаленной на 39 см от каждой стороны треугольника, до плоскости треугольника равно:
d = |200.25 * 39| / √(0^2 + 0^2 + 200.25^2) ≈ 7.78 см.