Через гіпотенузу АВ = с рівнобедреного прямокутного трикутника АВС проведено площину а, яка утворює з площиною трикутника кут 60°. Знайдіть відстань від вершини С до площини а .
Ответы
За властивостями рівнобедреного прямокутного трикутника, сторони АС і ВС мають однакову довжину, тобто AC = BC.
Площина а утворює з площиною трикутника кут 60°, тому площина а розбиває трикутник на дві частини, які є півтрикутниками з гіпотенузою, яка лежить на площині а. Оскільки кут між гіпотенузою та площиною трикутника дорівнює 60°, то кут між гіпотенузою та площиною а дорівнює 30°.
Тому, відстань від вершини С до площини а дорівнює висоті трикутника САD, де AD - проекція сторони СВ на площину а.
Оскільки трикутник ABC - рівнобедрений прямокутний, то проекція сторони CB на площину а дорівнює половині гіпотенузи AB, тобто
AD = AB/2 = c/2.
Таким чином, відстань від вершини С до площини а дорівнює висоті трикутника САD:
h = CD = √(AC^2 - AD^2) = √(c^2 - (c/2)^2) = √(3/4 * c^2) = (c/2) * √3.
Отже, відстань від вершини С до площини а дорівнює (c/2) * √3.