покажите что cos2θ+sinθ=1 можно записать в виде ksin2^2θ-sinθ=0
Ответы
Для решения данной задачи мы должны привести выражение cos2θ + sinθ к виду, подходящему для использования формулы дискриминанта.
Начнем с преобразования выражения cos2θ + sinθ. Мы знаем, что:
cos2θ = 1 - sin2θ
Подставим это в исходное выражение:
cos2θ + sinθ = 1 - sin2θ + sinθ
= 1 - sin2θ + sinθ - 1/4 + 1/4 (мы добавили и вычли 1/4, чтобы завершить квадрат)
= -(sinθ - 1/2)2 + 5/4
Теперь мы можем записать наше исходное уравнение в виде:
-(sinθ - 1/2)2 + 5/4 + sinθ - 1 = 0
После приведения подобных членов и упрощения получаем:
sin2θ - 2sinθ + 1 = 0
Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью формулы дискриминанта. Заменим sinθ на x, чтобы получить:
x2 - 2x + 1 = 0
Дискриминант этого уравнения равен:
D = b2 - 4ac = 4 - 4 = 0
Поскольку дискриминант равен нулю, у нас есть только один корень уравнения:
x = 1
Заменяя x на sinθ, мы получаем:
sinθ = 1
Это верно только для угла 90°. Проверка показывает, что это действительно решение исходного уравнения.
Таким образом, мы доказали, что выражение cos2θ + sinθ = 1 может быть записано в виде ksin2^2θ - sinθ = 0, где k = 5/4.