Даны вершины треугольника АВС: A(5; 1); B(-3; -1); C(7; -5)
Найти:
а) уравнение стороны AB;
б) уравнение высоты CH;
в) уравнение медианы AM;
г) точку N персечения медианы AM и высоты CH;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB;
е) расстояние от точки C до прямой AB
Ответы
Ответ:
а) Сторона AB проходит через точки A(5,1) и B(-3,-1), поэтому ее уравнение можно найти, используя координаты этих точек. Для этого нужно вычислить коэффициенты уравнения прямой y = kx + b, проходящей через эти точки:
k = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (-1 - 1)/(-3 - 5) = -1/2
b = y1 - k*x1 = 1 - (-1/2)*5 = -3.5
Таким образом, уравнение стороны AB: y = (-1/2)x - 3.5
б) Высота CH проходит через вершину C(7,-5) и перпендикулярна стороне AB, проходящей через точки A(5,1) и B(-3,-1). Сначала найдем уравнение прямой, содержащей сторону AB:
k = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (-1 - 1)/(-3 - 5) = -1/2
b = y1 - k*x1 = 1 - (-1/2)*5 = -3.5
Таким образом, уравнение стороны AB: y = (-1/2)x - 3.5
Теперь найдем уравнение прямой, перпендикулярной стороне AB и проходящей через точку C(7,-5). Коэффициент наклона такой прямой будет равен обратному значению коэффициента наклона стороны AB, умноженному на -1:
k_perp = 2
b_perp = y - k_perpx = -5 - 27 = -19
Таким образом, уравнение высоты CH: y = 2x - 19
в) Медиана AM проходит через вершину A(5,1) и середину стороны BC, которая находится на расстоянии 4 единицы от точки B(-3,-1) и на расстоянии 2 единицы от точки C(7,-5). Найдем координаты середины стороны BC:
x_m = (x_b + x_c)/2 = (-3 + 7)/2 = 2
y_m = (y_b + y_c)/2 = (-1 - 5)/2 = -3
Таким образом, координаты точки M: (2,-3). Уравнение медианы AM можно найти, используя координаты точек A и M. Коэффициент наклона будет равен:
k = (y_m - y_a)/(x_m - x_a) = (-3 - 1)/(2 - 5) = 1
Теперь найдем значение b в уравнении прямой AB, подставив в него координаты точки A:
y = kx + b
1 = 1*5 + b
b = -4
Таким образом, уравнение прямой AB имеет вид:
y = x - 4
б) Уравнение высоты CH можно найти, используя уравнение прямой, проходящей через точки С и середину стороны AB. Мы уже нашли уравнение прямой AB, поэтому можем найти координаты точки М, которая является серединой стороны AB:
x_m = (5 - 3)/2 = 1
y_m = (1 - 1)/2 = 0
Затем найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точки С и М:
k = (y_c - y_m)/(x_c - x_m) = (-5 - 0)/(7 - 1) = -5/3
Подставляем полученные значения k, x_m и y_m в уравнение прямой и находим свободный член b:
y = kx + b
0 = (-5/3)*1 + b
b = 5/3
Таким образом, уравнение высоты CH имеет вид:
y = (-5/3)x + 5/3
в) Медиана AM проходит через вершину A и середину стороны BC, которая имеет координаты:
x_m = (7 - (-3))/2 = 2
y_m = (-5 - (-1))/2 = -3
Находим угловой коэффициент медианы AM:
k = (y_m - y_a)/(x_m - x_a) = (-3 - 1)/(2 - 5) = 2/3
Подставляем полученные значения k, x_a и y_a в уравнение прямой и находим свободный член b:
y = kx + b
1 = (2/3)*5 + b
b = -7/3
Таким образом, уравнение медианы AM имеет вид:
y = (2/3)x - 7/3
г) Чтобы найти точку пересечения медианы AM и высоты CH, решим систему уравнений, состоящую из уравнений медианы и высоты:
y = (-5/3)x + 5/3
y = (2/3)x - 7/3
Подставляем одно уравнение в другое и находим x:
(-5/3)x + 5/3 = (2/3)x - 7/3
(-7/3)x = -4
x = 12/7
г) Точку пересечения медианы AM и высоты CH можно найти, зная, что они пересекаются в центроиде G, который находится на расстоянии 2/3 от вершины A до середины стороны BC. Точка G имеет координаты (x_g, y_g), где x_g = (x_a + x_b + x_c)/3, y_g = (y_a + y_b + y_c)/3. Подставляем координаты вершин и получаем x_g = 3, y_g = -1. Точка пересечения медианы AM и высоты CH будет находиться на отрезке GH, где H - середина стороны AB. Координаты точки H: x_h = (x_a + x_b)/2, y_h = (y_a + y_b)/2. Подставляем координаты вершин и получаем x_h = 1, y_h = 0. Тогда координаты точки N будут средними значениями координат точек G и H: x_n = (x_g + x_h)/2 = 2, y_n = (y_g + y_h)/2 = -0.5. Точка N имеет координаты (2, -0.5).
д) Уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB, можно найти, зная коэффициент наклона этой прямой k. Так как сторона AB параллельна оси OX, то k = 0. Уравнение прямой имеет вид y - y_c = k(x - x_c), то есть y + 5 = 0(x - 7), или y = -5. Уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB, будет y = -5.
е) Расстояние от точки C до прямой AB можно найти, используя формулу: d = |ax_c + by_c + c| / sqrt(a^2 + b^2), где a, b, c - коэффициенты уравнения прямой в общем виде Ax + By + C = 0, x_c, y_c - координаты точки C. Преобразуем уравнение прямой AB, вычисляя коэффициенты a, b, c:
a = y_b - y_a = -1 - 1 = -2
b = x_a - x_b = 5 + 3 = 8
c = x_by_a - x_ay_b = (-3)1 - 5(-1) = 2
Подставляем координаты точки C и вычисляем расстояние:
d = |(-2)7 + 8(-5) + 2| / sqrt((-2)^2 + 8^2) = 6 / sqrt(68) = 0.725. От