Question

Помогите пожалуйста с решением, прощу вас !!!​

Answer 1

Ответ:

$\bf \sum\limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{2^{n}+5^{n}}{10^{n}}$  

Преобразуем общий член ряда в сумму .

$\bf \dfrac{2^{n}+5^{n}}{10^{n}}=\dfrac{2^{n}+5^{n}}{2^{n}\cdot 5^{n}}=\dfrac{2^{n}}{2^{n}\cdot 5^{n}}+\dfrac{5^{n}}{2^{n}\cdot 5^{n}}=\dfrac{1}{5^{n}}+\dfrac{1}{2^{n}}\ \ \ \Rightarrow \\\\\\\bf \sum\limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{2^{n}+5^{n}}{10^{n}}=\sum\limits _{n=1}^{\infty }\Big(\dfrac{1}{5^{n}}+\dfrac{1}{2^{n}}\Big)=\sum\limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{5^{n}}+\sum\limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{2^{n}}$  

Получили, что заданный ряд можно представить как сумму двух сходящихся геометрических рядов .

Ряд    $\bf \sum\limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{5^{n}}=\sum\limits _{n=1}^{\infty }\Big(\dfrac{1}{5}\Big)^{n}$  геометрический , он сходится, так как  знаменатель  $\bf q=\dfrac{1}{5} < 1$   . Сумма такой бесконечно убывающей

геометрической прогрессии равна

 $\bf S_1=\dfrac{b_1}{1-q}=\dfrac{\dfrac{1}{5}}{1-\dfrac{1}{5}}=\dfrac{1}{4}$  .

Ряд    $\bf \sum\limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{2^{n}}=\sum\limits _{n=1}^{\infty }\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{n}$  геометрическимй, он сходится, так как  знаменатель  $\bf q=\dfrac{1}{2} < 1$   . Сумма такой бесконечно убывающей

геометрической прогрессии равна

$\bf S_2=\dfrac{b_1}{1-q}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1-\dfrac{1}{2}}=1$  .      

Cумма двух сходящихся рядов будет сходящимся рядом .

Сумма такого ряда равна   $\bf S=S_1+S_2=\dfrac{1}{4}+1=1,25$   .