Question

Контрольна робота
«Квадратні рівняння. Теорема Вієта»
1. (4 балів) Розв’яжіть квадратні рівняння:
1 х2 + 5х + 6 = 0
2 х2 - 4х + 4 = 0
3 х - 2х2 = 0
4 5х2 - 6х + 1 = 0
2. (2 бали) Розв’яжіть рівняння
-2х(1 - х) + 3 (х - 4) = -х (х + 2) –6х.
3. (2 бали) Складіть квадратне рівняння, корені якого дорівнюють -1 і 3.
4. (2 бали) Один з коренів рівняння х2 - 6 х + с = 0 дорівнює -2. Знайдіть вільний член і другий корінь цього рівняння
5. (2 бали) Знайти довжину сторін прямокутника, периметр якого дорівнює 42 см, а площа 108 см2 .

Answer 1

Ответ:

${x}^{2} + 5x + 6 = 0 \\ x1 + x2 = - 5 \\ x1 \times x2 = 6 \\ x1 = - 3 \: \: \: \: \: x2 = - 2$

${x}^{2} - 4x + 4= 0 \\ x1 + x2 = 4 \\ x1 \times x2 = 4 \\ \\ {(x - 2)}^{2} = 0 \\ x = 4$

$x - 2 {x}^{2} = 0 \\ x(1 - 2x) = 0 \\ x1 = 0 \: \: \: \: \: x2 = 0.5$

$- 2x(1 - x) + 3(x - 4) = - x(x + 2) - 6x \\ - 2x + 2 {x}^{2} + 3x - 12 = - {x}^{2} - 2x - 6x \\ 3 {x}^{2} + 9x - 12 = 0 \\ {x}^{2} + 3x - 4 = 0 \\ \\ x1 + x2 = - 3 \\ x \times x2 = - 4 \\ x1 = - 4 \: \: \: \: \: x2 = 1$

$(x + 1)(x - 3) = 0 \\ {x}^{2} - 2x - 3 = 0$

${x}^{2} - 6x + c = 0 \\ x1 + x2 = 6 \\ x1 \times x2 = c$

Якщо один з коренів рівняння х2 - 6 х + с = 0 дорівнює -2, то інший корінь дорівнює 6 - (-2) = 8 (за формулою суми коренів). Тоді добуток коренів дорівнює (-2) * 8 = -16 (за формулою добутку коренів). Враховуючи, що дискримінант рівняння дорівнює D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4*1*c = 36 - 4c, маємо:

D = (-2) * 8 = 36 - 4c

4c = 52

c = 13

Отже, вільний член рівняння дорівнює 13, а другий корінь -8 (за формулою добутку коренів). Рівняння має вигляд x^2 - 6x + 13 = 0.

P = 2(a+b) = 42

S = a*b = 108

a+b = 21

a*b = 108

a = 21-b

b²-21b+108=0

b1+b2 = 21

b1*b2 = 108

b1 = 9

b2 = 12