Question

решить систему уравнений
1)x-y=2π/3,
tgx-tgy=-2√3​

Answer 1

Основные формулы:

$\cos\alpha \cos\beta =\dfrac{1}{2} \big(\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\big)$

$\mathrm{tg}{\,}\alpha -\mathrm{tg}{\,}\beta =\dfrac{\sin(\alpha -\beta )}{\cos\alpha \cos\beta }$

Рассмотрим систему:

$\begin{cases} x-y=\dfrac{2\pi }{3} \\ \mathrm{tg}{\,}x-\mathrm{tg}{\,}y=-2\sqrt{3} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим "х":

$x=y+\dfrac{2\pi }{3}$

И подставим во второе уравнение:

$\mathrm{tg}\left(y+\dfrac{2\pi }{3} \right)-\mathrm{tg}{\,}y=-2\sqrt{3}$

В левой части применяем формулу разности тангенсов:

$\dfrac{\sin\left(y+\dfrac{2\pi }{3}-y\right) }{\cos\left(y+\dfrac{2\pi }{3} \right)\cos y} =-2\sqrt{3}$

Выразим произведение косинусов:

$\cos\left(y+\dfrac{2\pi }{3} \right)\cos y=\sin\dfrac{2\pi }{3}:(-2\sqrt{3})$

В левой части преобразуем произведение косинусов в сумму:

$\dfrac{1}{2}\left(\cos\left(y+\dfrac{2\pi }{3} + y\right)+\cos\left(y+\dfrac{2\pi }{3} - y\right) \right)=\dfrac{\sqrt{3} }{2}:(-2\sqrt{3})$

$\dfrac{1}{2}\left(\cos\left(2y+\dfrac{2\pi }{3}\right)+\cos\dfrac{2\pi }{3} \right)=-\dfrac{1 }{4}$

$\cos\left(2y+\dfrac{2\pi }{3}\right)+\cos\dfrac{2\pi }{3} =-\dfrac{1 }{2}$

$\cos\left(2y+\dfrac{2\pi }{3}\right)-\dfrac{1 }{2} =-\dfrac{1 }{2}$

$\cos\left(2y+\dfrac{2\pi }{3}\right) =0$

$2y+\dfrac{2\pi }{3} =\dfrac{\pi }{2} +\pi n$

$2y =\dfrac{\pi }{2} -\dfrac{2\pi }{3}+\pi n$

$2y =-\dfrac{\pi }{6}+\pi n$

$y =-\dfrac{\pi }{12}+\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Находим "х":

$x=y+\dfrac{2\pi }{3}$

$x=-\dfrac{\pi }{12}+\dfrac{\pi n}{2}+\dfrac{2\pi }{3}=\dfrac{7\pi }{12}+\dfrac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\left(\dfrac{7\pi }{12}+\dfrac{\pi n}{2};\ -\dfrac{\pi }{12}+\dfrac{\pi n}{2} \right),\ n\in\mathbb{Z}$