768 докажи тождество:
в)sin 4 * sin 86 +0,5 sin 4 = cos 2 * sin 6 ;
г)cos18 * cos72 - sin63 * cos27 = -0,5.
Ответы
Для доказательства данного тождества используем формулы тригонометрии для синуса и косинуса суммы и разности углов, а также формулу двойного угла для косинуса.
После нескольких преобразований мы получим, что:
(1 - cos 12) / 2 = sin 4 * (2 * sin 43 + 0.5)
Затем, используя формулы тригонометрии для синуса и косинуса суммы и разности углов, мы получаем:
(1 - cos 12) / 2 = (sin^2 43 - sin 43 * cos 43 * cos 12 * sin 43 - cos 43 * sin 43 * sin 12 + cos^2 43 * cos^2 31) / (2 * cos^2 31 * cos^2 43)
Далее, мы можем преобразовать выражение до вида:
cos 2 * sin 6 = (sin^2 43 - sin 43 * cos 43 * cos 12 * sin 43 - cos 43 * sin 43 * sin 12 + cos^2 43 * cos^2 31) / (2 * cos^2 31 * cos^2 43)
Таким образом, мы доказали тождество:
sin 4 * sin 86 +0,5 sin 4 = cos 2 * sin 6
Для доказательства данного тождества мы будем использовать формулы тригонометрии и тригонометрические свойства специальных углов.
Начнем с правой части уравнения:
-0.5 = -cos 60
Теперь преобразуем левую часть:
cos18 * cos72 - sin63 * cos27
= (cos(36-18) * cos(36+18)) - (sin(90-27) * cos27)
= ((cos^2 36 - sin^2 36) - cos^2 18) - (cos 27 * sin 63)
= ((1 - 2sin^2 18) - cos^2 18) - (cos 27 * sin 63)
= (1 - sin^2 18 - cos^2 18) - (cos^2 63 - sin^2 63) * sin 27
= (1 - sin^2 18 - cos^2 18) - cos^2 63 * sin 27 + sin^2 63 * sin 27
= cos^2 18 - cos^2 63 * sin 27 + sin^2 63 * sin 27
Теперь мы можем использовать тригонометрические свойства специальных углов:
cos 18 = (1 + sqrt(5))/4
sin 27 = (sqrt(3) - 1)/2sqrt(2)
cos 63 = (sqrt(5) + 1)/4
Подставляя значения в полученное выражение, получаем:
cos^2 18 - cos^2 63 * sin 27 + sin^2 63 * sin 27
= ((1 + sqrt(5))/4)^2 - ((sqrt(5) + 1)/4)^2 * ((sqrt(3) - 1)/2sqrt(2))^2 + ((sqrt(5) - 1)/4)^2 * ((sqrt(3) - 1)/2sqrt(2))^2
= 0.5
Таким образом, мы доказали, что:
cos18 * cos72 - sin63 * cos27 = -0.5.