Question

знайдіть усі точки мінімуму функції y=x^3 In x

Answer 1

Ответ:

Для знаходження точок мінімуму функції, потрібно спочатку знайти похідну цієї функції та розв'язати рівняння похідної рівній нулю.

Похідна функції y = x^3 ln(x) може бути знайдена за допомогою правила добутку та правила логарифмічної похідної:

y' = 3x^2 ln(x) + x^2 / x = 3x^2 ln(x) + x

Потім потрібно розв'язати рівняння y' = 0:

3x^2 ln(x) + x = 0

Звідси ми можемо виділити x:

x (3x ln(x) + 1) = 0

x = 0 або 3x ln(x) + 1 = 0

Перша частина рівняння дає нам одну можливу точку мінімуму, x = 0. Але, оскільки ln(0) не визначене, це не може бути точкою мінімуму.

Друга частина рівняння може бути розв'язана чисельно. Ми можемо використовувати метод Ньютона для знаходження коренів цього рівняння:

x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n])

де f(x) = 3x ln(x) + 1 і f'(x) = 3ln(x) + 3.

Починаючи з деякої початкової точки (наприклад, x = 1), ми можемо ітерувати цей метод до тих пір, поки x[n+1] - x[n] не стане менше заданої точності. Це дає нам другу точку мінімуму:

x ≈ 0.20885

Таким чином, є лише одна точка мінімуму для функції y = x^3 ln(x), а саме x ≈ 0.20885..