Question

В основі конуса проведено хорду, яку видно з центру основи під кутом a, а з вершини конуса під кутом b. Знайти площу бічної поверхні конуса, якщо відрізок, який з'єднує вершину конуса з серединою хорди, дорівнює b

Answer 1

Ответ:

Позначимо через O центр основи конуса, через V - вершину конуса, а через M - середину заданої хорди. Тоді, так як OM є серединним перпендикуляром до хорди, то ОМ = MV.

З рисунку можна побачити, що кут MOV дорівнює половині кута хорди, тобто a/2, а кут OVM дорівнює b. Отже, кут OVM дорівнює b, а кут MOE дорівнює a/2 - b.

Так як MO = MV, то кут MVO дорівнює (180 - b)/2 = 90 - b/2. За теоремою косинусів, вправильному трикутнику VOM з гіпотенузою VO та катетами OM та VM, маємо:

OV² = OM² + VM² - 2OM·VM·cos(MOV)

Оскільки MO = MV, то OM·VM = MO² = (b/2)². Підставляючи вирази для кутів та цей вираз, отримуємо:

OV² = (b/2)² + (OM² - (b/2)²) - 2·(b/2)²·cos(a/2 - b)

або

OV² = OM² - (b/2)²·(1 - 2·sin²(a/4 - b/2))

або, враховуючи що OM = VO/2 = r/2, де r - радіус опуклої основи конуса:

OV² = r²/4 - (b/2)²·(1 - 2·sin²(a/4 - b/2))

Площу бічної поверхні конуса можна знайти за формулою:

S = πr·l,

де l - висота конуса, що дорівнює OV·sin(MOE). Підставляємо знайдені вирази:

S = πr·OV·sin(MOE) = πr·OV·sin(a/2 - b)/2

Окремо знайдемо радіус основи конуса. Позначимо через x відстань від середини хорди до центру основи конуса. Тоді r² = h² + x², де h - висота трикутника VOM. Цей трикутник прямокутний, тому h = VM = √(OV² - OM²) = √(OV² - (b/2)²·(1 - 2·sin²(a/4 - b/2))). Залишається знайти x.