Найдите углы треугольника АВС, если А(-5; 2), B(-2; 1), C(-1; 4).
Ответы
Ответ:
Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой нахождения угла между двумя векторами в координатной плоскости:
cos α = (AB ⋅ AC) / (|AB| ⋅ |AC|),
где AB и AC - векторы, соединяющие вершины треугольника, |AB| и |AC| - длины этих векторов, AB ⋅ AC - скалярное произведение этих векторов.
1. Найдём векторы AB и AC:
AB = B - A = (-2; 1) - (-5; 2) = (3; -1),
AC = C - A = (-1; 4) - (-5; 2) = (4; 2).
2. Найдём длины этих векторов:
|AB| = √(3² + (-1)²) = √10,
|AC| = √(4² + 2²) = 2√5.
3. Найдём скалярное произведение AB ⋅ AC:
AB ⋅ AC = 3⋅4 + (-1)⋅2 = 10.
4. Подставим значения в формулу:
cos α = (AB ⋅ AC) / (|AB| ⋅ |AC|) = 10 / (√10 ⋅ 2√5) = 1 / √2
α = arccos (1 / √2) ≈ 45°.
Таким образом, угол между векторами AB и AC, а значит, угол ВАС равен 45 градусов.