Question

Рассчитай, через сколько времени тело (массой пренебречь) достигнет поверхности Земли, падая с нулевой скоростью с высоты орбиты Луны (385000 км)?

Answer 1

Для решения этой задачи необходимо использовать законы Ньютона механики, а именно закон всемирного тяготения и закон сохранения энергии.

Закон всемирного тяготения гласит, что сила притяжения между двумя телами пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
F = G * m1 * m2 / r^2,
где F - сила притяжения, G - гравитационная постоянная, m1 и m2 - массы тел, r - расстояние между телами.

Закон сохранения энергии гласит, что полная механическая энергия замкнутой системы (такой, как падающее тело) остается постоянной:
E = U + K,
где E - полная механическая энергия, U - потенциальная энергия, K - кинетическая энергия.

Если тело падает с высоты H с нулевой начальной скоростью, его потенциальная энергия U в начальный момент равна потенциальной энергии в конечный момент, когда тело достигнет поверхности Земли:
U = m * g * H = G * M * m / R,
где m - масса тела, g - ускорение свободного падения на поверхности Земли, M - масса Земли, R - радиус Земли.

Кинетическая энергия в начальный момент равна нулю, а в конечный момент она равна кинетической энергии при падении на поверхность Земли:
K = m * v^2 / 2,
где v - скорость тела в конечный момент.

Суммируя уравнения для потенциальной и кинетической энергии, получаем:
m * g * H = m * v^2 / 2 + G * M * m / R.

Решая это уравнение относительно времени t, за которое тело достигнет поверхности Земли, получаем:
t = sqrt(2 * H / g) * (1 + sqrt(1 + 2 * G * M / R / g)).

Подставляя значения H = 385000 км, g = 9.81 м/с^2, M = 5.97 * 10^24 кг, R = 6.37 * 10^6 м и G = 6.67 * 10^-11 Н * м^2 / кг^2, получаем:
t = 1935 секунд