Question

9 КЛАС. ГЕОМЕТРІЯ.
40 БАЛЛОВ

доведіть що периметр чотирикутника більший за суму його діагоналей​

Answer 1

Надеюсь правильно

Необхідно довести нерівність P > d1 + d2, де P - периметр чотирикутника, d1 та d2 - його діагоналі.

Розглянемо довільний чотирикутник ABCD і позначимо його сторони як AB, BC, CD та DA, а діагоналі - як AC та BD. Тоді периметр P буде дорівнювати сумі довжин сторін:
P = AB + BC + CD + DA

Для того, щоб довести нерівність P > d1 + d2, розглянемо квадрат ACED, який має сторону діагоналі d1 та площу, що дорівнює половині добутку його діагоналей:
S(ACED) = 1/2 * d1 * d2

З іншого боку, можна розглянути два трикутники ABC та CDA, які мають спільну сторону AC та висоти, що проходять через точки B та D відповідно. Тоді площі цих трикутників можна обчислити за формулою:
S(ABC) = 1/2 * AB * h1
S(CDA) = 1/2 * CD * h2

За теоремою Піфагора можна знайти довжини висот h1 та h2:
h1 = sqrt(AC^2 - (AB/2)^2)
h2 = sqrt(AC^2 - (CD/2)^2)

Підставляючи ці значення в формули для площ трикутників, отримаємо:
S(ABC) = 1/2 * AB * sqrt(AC^2 - (AB/2)^2)
S(CDA) = 1/2 * CD * sqrt(AC^2 - (CD/2)^2)

Сума цих площ дорівнює площі квадрата ACED:
S(ABC) + S(CDA) = S(ACED)
1/2 * AB * sqrt(AC^2 - (AB/2)^2) + 1/2 * CD * sqrt(AC^2 - (CD/2)^2) = 1/2 * d1 * d2

Поділимо обидві частини на 1/2 та помножимо на 4:
2 * AB * sqrt(AC^2 - (AB/2)^2) + 2 * CD * sqrt(AC^2 - (CD/2)^2) = d1 * d2

З іншого боку, за нерівністю між середнім арифметичним та середнім геометричним маємо:
(d1 + d2)/2 >= sqrt(d1 * d2)

Помножимо обидві частини на 2:
d1 + d2 >= 2 * sqrt(d1 * d2)

Піднесемо обидві частини до квадрату:
(d1 + d2)^2 >= 4 * d1 * d2

Розкриваємо дужки та спрощуємо:
d1^2 + 2 * d1 * d2 + d2^2 >= 4 * d1 * d2
d1^2 - 2 * d1 * d2 + d2^2 >= 0
(d1 - d2)^2 >= 0

Отже, ми довели, що (d1 - d2)^2 >= 0, що означає, що дорівність може бути досягнута лише тоді, коли d1 = d2. Але в цьому випадку ми маємо квадрат зі стороною d1 (або d2), який має периметр P = 4 * d1 (або 4 * d2), тоді як периметр чотирикутника ABCD завжди менший за цю величину. Отже, нерівність P > d1 + d2 виконується для будь-якого чотирикутника ABCD.