Question

Допоможіть будь ласка вирішити

Answer 1

Ответ:

2. $\dfrac{1}{3} \ln |x^3 +1|+C$

3. ( 2 ; - 1,25 )  - центр окружности ,   R = 2,75

Пошаговое объяснение:

2.Найдите  $\displaystyle \int\limits\frac{x^2}{x^3 +1} \, dx$   методом подстановки

Заметим , что :

$\dfrac{1}{3} d(x^3+1) = x^2 d(x)$

Введем  замену  t = x³ + 1

$\dfrac{1}{3} d(t) = x^2 d(x)$

$\dfrac{1}{x^3 +1}= \dfrac{1}{t}$

$\displaystyle \int\limits\frac{x^2}{x^3 +1} \, dx = \int\limits\frac{1}{t}\cdot \frac{1}{3} \, dt = \frac{1}{3} \int\limits\frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{3} \ln |t|+C$

Вернувшись к старой переменной   x³ + 1 , получим что :

$\displaystyle \int\limits\frac{x^2}{x^3 +1} \, dx = \frac{1}{3} \ln |t|+C = \frac{1}{3}\cdot \ln |x^3 +1| + C$

3. Найдите координаты центра и радиуса круга

2x² + 2y² - 8x + 5y - 4 = 0

Вспомним , что уравнение окружности имеет вид :

(x-a)² + (y-b)² = R²

Если умножить или разделить  правую и левую часть данного уравнения на какое-то действительно число k , то уравнение останется неизменным

Поскольку в нашем уравнение коэффициент у   x²-са ,  и  y²-ка  равен 2-м , то чтобы избавиться от него , разделим наше уравнение на k = 2

2x² + 2y² - 8x + 5y - 4 = 0 | : 2

x² + y² - 4x + 2,5y - 2 = 0

Преобразовываем данное уравнение ,   находим координаты центра  окружности и  ее радиус

(x² -2·2·x + 2²) - 2²  + (y² + 2·1,25·y + 1,25²) - 1,25² - 2 = 0

(x -2)² + (y + 1,25)²  = 4 + 2  + 1,25²

$\displaystyle (x -2)^2 + (y + 1,25)^2 = 6 + \bigg ( \frac{5}{4} \bigg ) ^2 \\\\\\ (x-2)^2 + (y+1,25)^2 = 6 + \frac{25}{16} \\\\\\ (x-2)^2 + (y+1,25)^2 = \frac{121}{16} \\\\\\ (x-2)^2 + (y+1,25)^2 = \bigg ( \frac{11}{4} \bigg ) ^2 \\\\\\ (x-2)^2 +(y+1,25)^2= 2,75^2$

Тогда  точка  ( 2 ; - 1,25 )  - центр окружности ,  а ее радиус равен  
R = 2,75

#SPJ1