в правильной треугольной пирамиде длина бокового ребра равна √3. При какой величине угла, образованного этим ребром с основанием пирамиды, объем пирамиды будет наибольшим?
Ответы
Давайте обозначим сторону основания правильной треугольной пирамиды как "a", а высоту пирамиды как "h". Тогда мы можем использовать формулу для объема пирамиды:
V = (1/3) * площадь основания * высота
Для правильной треугольной пирамиды площадь основания можно найти по формуле:
A = (sqrt(3)/4) * a ^ 2
, где "a" - длина одной стороны основания равностороннего треугольника. Высоту пирамиды можно определить с помощью теоремы Пифагора:
h^2 = a^2 - (sqrt(3)/2)^2
h^2 = a^2 - 3/4
h = sqrt(a^2 - 3/4)
Теперь мы можем выразить объем пирамиды как функцию от "а".:
V(a) = (1/3) * (sqrt(3)/4) * a^2 * sqrt(a^2 - 3/4)
Мы можем найти максимум этой функции, взяв ее производную по отношению к "a" и установив ее равной нулю:
dV/da = (3/8) * a * sqrt(a^2 - 3/4) + (1/3) * ( sqrt(3)/4) * a^ 2 * (2a/sqrt(a^ 2 - 3/4))
dV/da = (3/8) * a * sqrt(a^ 2 - 3/4) + (sqrt(3)/6) * a^3 / sqrt(a^2 - 3/4) = 0
Умножая обе стороны на 24*sqrt(a ^ 2-3/4), мы получаем:
9а^4 - 8а^2 + 9*3^(3/2)/4 = 0
Это квартильное уравнение, которое может быть решено численно. Используя числовой решатель, мы получаем два вещественных корня: a ≈ 0,902 и a ≈ 1,224. Второй корень соответствует длине стороны основания правильного тетраэдра с длиной ребра √3, которая является заданной длиной в задаче.
Чтобы определить, какое значение "a" дает максимальный объем, мы можем вычислить вторую производную функции объема и оценить ее по каждому корню:
d^2V/da^2 = (3/8) * sqrt(a^2 - 3/4