Question

Помогите пожалуйста срочно!
Вычислить!

Answer 1

Ответ:

1.     $\displaystyle \bf \int\limits^2_0 {\frac{x}{x^2+4} } \, dx=\frac{1}{2}ln2$

2.    $\displaystyle \bf \int\limits^{\frac{\pi }{4} }_0 {\frac{2cosx+3sinx}{(3cosx-2sinx)^3} } \, dx=\frac{17}{18}$

Пошаговое объяснение:

Вычислить интегралы:

• Формула Ньютона-Лейбница:

              $\boxed {\displaystyle \bf \int\limits^b_a {f(x)} \, dx =F(b)-F(a)}$

1.

$\displaystyle \bf \int\limits^2_0 {\frac{x}{x^2+4} } \, dx$

Замена переменной:

x² + 4 = t   ⇒   2xdx = dt   или   xdx = 1/2 dt

Заменим пределы интегрирования:

x = 2   ⇒   t = 2² + 4 = 8

x = 0   ⇒   t = 0 + 4 = 4

$\boxed {\displaystyle \bf \int\limits {\frac{dx}{x} }=ln|x|+C }$

Получим интеграл:

$\displaystyle \frac{1}{2} \int\limits^8_4 {\frac{1}{t} } \, dt =\frac{1}{2}ln|t|\;\bigg|^8_4=\frac{1}{2}(ln8-ln4)=\frac{1}{2}ln\frac{8}{4}=\frac{1}{2}ln2$

2.

$\displaystyle \bf \int\limits^{\frac{\pi }{4} }_0 {\frac{2cosx+3sinx}{(3cosx-2sinx)^3} } \, dx$

Замена переменной:

3cosx - 2sinx = t

(-3sinx - 2cosx)dx = dt

3sinx + 2cosx = -dt

Заменим пределы интегрирования:

$\displaystyle x=\frac{\pi }{4}\;\;\;\Rightarrow t = 3cos\frac{\pi }{4} - 2sin\frac{\pi }{4} = \frac{\sqrt{2} }{2} \\\\ x=0\;\;\;\Rightarrow t = 3cos0^0 - 2sin0^0 = 3$

Получили верхний предел меньше нижнего.

• Если поменять местами пределы интегрирования, то знак определенного интеграла изменится на противоположный.
•                           $\boxed {\displaystyle \bf \int\limits^b_a {f(x)} \, dx=-\int\limits^a_b {f(x)} \, dx }$

$\boxed {\displaystyle \bf \int\limit {x^n} \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} }$

Получим интеграл:

$\displaystyle -\int\limits^3_{\frac{\sqrt{2} }{2} } {\frac{-dt}{t^3} } =\int\limits^3_{\frac{\sqrt{2} }{2} } t^{-3}dt=\frac{t^{-2}}{-2}\bigg|^3_{\frac{\sqrt{2} }{2} } =-\frac{1}{2t^2}\bigg|^3_{\frac{\sqrt{2} }{2} } =-\frac{1}{2\cdot3^2}+\frac{2^2}{2\cdot2}=\\ \\ \\=-\frac{1}{18}+1=\frac{17}{18}$

#SPJ1