Хорда СD кола перетинає його діаметр АВ у точці М. Відомо, що СМ = 8 см,
MD = 5 см, AM = 4 см, МВ = 10 см. Знайдіть кут CMB.
Ответы
Ответ:.
Объяснение:Оскільки точка М лежить на діаметрі АВ, то кут AMC дорівнює 90 градусів, а кут BMD також дорівнює 90 градусів, тому кути AMC та BMD є прямими кутами.
Знайдемо довжину хорди CD за теоремою Піфагора для трикутника AMC:
AC² = AM² + CM²,
AC² = 4² + 8² = 80,
AC = √80 = 4√5.
За теоремою про хорди, що діляться на частини, добутки довжин AM і MB дорівнюють одне одному:
AM * MB = CM * MD.
Підставляємо відомі значення та отримуємо:
4 * MB = 8 * 5,
MB = 10.
Таким чином, довжина хорди BD дорівнює 10 см.
За теоремою косинусів для трикутника BCD можна знайти кут CMB:
cos(CMB) = (BD² + BC² - CD²) / (2 * BD * BC).
Підставляємо відомі значення та отримуємо:
cos(CMB) = (10² + BC² - (4√5)²) / (2 * 10 * BC),
cos(CMB) = (100 + BC² - 80) / (20 * BC),
cos(CMB) = (BC² + 20) / (20 * BC).
З іншого боку, за теоремою Піфагора для трикутника BCD можна знайти довжину BC:
BC² = BD² - CD² = 10² - (4√5)² = 20,
BC = √20 = 2√5.
Підставляємо це значення в формулу для cos(CMB) і отримуємо:
cos(CMB) = (2√5)² + 20) / (20 * 2√5),
cos(CMB) = (25 + 20) / (40√5),
cos(CMB) = 9 / (8√5).
Знаходимо значення кута CMB за формулою:
CMB = arccos(9 / (8√5)) ≈ 18,2 градусів.
Отже, кут CMB дорівнює приблизно 18,2 градусів.