Сплошной однородный диск радиуса r, катится без скольжения по друге окружности раиуса R. Найти, какую скорость надо сообщить центру диска в нижнем положении, чтобы при достижении угла 60° сила нормального давления цилиндра на поверхность уменьшилась в 1,5 раза
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Запишем уравнение движения центра масс диска:
$$m\frac{d^2r}{dt^2} = mg\sin\theta - N,$$
где $m$ - масса диска, $g$ - ускорение свободного падения, $N$ - сила нормального давления, $\theta$ - угол между вертикалью и линией, соединяющей центры окружностей.
В нижнем положении ($\theta=0$) сила нормального давления равна $N = mg$. При достижении точки с углом $\theta = 60^\circ$, сила нормального давления уменьшится в 1,5 раза, то есть $N' = 0,67mg$. Запишем уравнение для угла поворота в момент достижения угла $\theta = 60^\circ$:
$$m\frac{d^2r}{dt^2} = mg\sin 60^\circ - 0,67mg,$$
откуда
$$\frac{d^2r}{dt^2} = \frac{g}{2} - 0,67g.$$
Интегрируем это выражение дважды:
$$r(t) = \frac{g}{4}t^2 - 0,67gt^2 + C_1t + C_2.$$
Условие $r(t) = R$ при $\theta = 0$ дает $C_2 = R$. Из условия, что диск не должен скользить по поверхности, следует, что скорость точки соприкосновения диска с поверхностью равна нулю в любой момент времени. Это означает, что скорость центра масс диска равна скорости точки соприкосновения с поверхностью. В нижней точке это скорость максимальна и равна $v_0$. Таким образом, получаем уравнение для нахождения начальной скорости:
$$\frac{dr}{dt}\bigg|_{t=0} = v_0 = C_1.$$
Условие $N' = 0,67mg$ при $\theta = 60^\circ$ дает возможность выразить $v_0$:
$$N' = mg\cos 60^\circ - m\frac{v_0^2}{r} = 0,67mg,$$
откуда
$$v_0 = r\sqrt{\frac{g}{r}(1-\cos 60^\circ)\frac{1}{0,33}} = r\sqrt{\frac{2g}{3}}.$$
Таким образом, начальная скорость, которую нужно сообщить центру диска в нижнем положении, равна $v_0 = r\sqrt{\dfrac{2g}{3}}$.