Дано вершини А(-1;-1), В(-7; 2), С(-4; 3) трикутника. Знайти:
1) довжини сторін трикутника;
2) рівняння сторін і їх кутові коефіцієнти;
3) внутрішній кут А в радіанах з точністю до 0,001;
4) рівняння висот, які проведені через вершини С, В і точку їх перетину;
5) рівняння медіани, яка проведена через вершину С:
6) довжину висоти, яка проведена з вершини С;
7) записати систему лінійних нерівностей, які визначають трикутник АВС.
Зробити малюнок.
Ответы
Ответ:
Дані координати вершин трикутника АВС
А(2;-1) В(5;11) С(11;3).
Знайти: 1) довжину сторони АВ;
длина стороны AB = √((5-2)² + (11-(-1)²) = √(9 + 144) = √153.
2) рівняння сторін АВ і ВС і їх кутові коефіцієнти;
Вектор АВ = ((5-2); (11-(-1)) = (3; 12), к = 12/3 = 4.
Вектор ВС = (11-5); (3-11)) = (6; -8), к = -8/6 = -4/3.
Уравнение АВ: у = кх + b. Подставим координаты точки А и к = 4.
-1 = 4*2 + b, отсюда b = -1 - 8 = -9.
Уравнение АВ: у = 4х – 9.
Уравнение ВC: у = кх + b. Подставим координаты точки В и к = (-4/3).
11 = (-4/3)*5 + b, отсюда b = 11+ (20/3) = 53/3.
Уравнение ВС: у = (-4/3)х + (53/3).
3) кут В в радіанах;
Для этого надо знать векторы ВА и ВС.
Вектор ВА = -АВ = (-3; -12). Его модуль равен √(9 + 144) =√153.
Вектор ВС = (6; -8). Его модуль равен √36 + 64) =√100 = 10.
cos B = (-3*6 + (-12)*(-8)/(√153*10) = 78/(10√153) = 39(5√153).
Угол В = arccos(39/(5√153)) = 0,888479772 радиан или 50,90614111 градуса.
4) рівняння висоти СД і її довжину;
Используем уравнение стороны АВ: у = 4х – 9.
У прямой, перпендикулярной к прямой АВ, угловой коэффициент равен к = -1/4.
Подставим координаты точки С(11;3) и коэффициент к = (-1/4).
3 = (-1/4)*11 + b, отсюда b = 3 + (11/4) = 23/4.
Получаем уравнение высоты CD:
y = (-1/4)х + (23/4) или в общем виде х + 4у – 23 = 0.
Длина высоты CD – это расстояние от точки С до прямой АВ.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C|/√(A2 + B2
Подставим в формулу данные:
d = |4·11 + (-1)·3 + (-9)|/ √(42 + (-1)2)= |44 - 3 - 9|/√(16 + 1) =
= 32/√17 = 32√17/17 ≈ 7.761140
5) рівняння медіани АЕ;
Находим координаты точки Е как середины стороны ВС.
Е(11+5)/2; (3+11)/2) = (8; 7).
Вектор АЕ = ((8-2); (7-(-1))) = (6; 8).
Уравнение АЕ: (х – 2)/6 = (у + 1)/8. Это в каноническом виде.
Оно же в общем вид:
8х – 16 = 6у + 6,
8х – 6у – 22 = 0, сократив на 2: 4х - 3у - 11 = 0.
И в виде уравнения с угловым коэффициентом у = (4/3)х - (11/3).
6) координати точки перетину медіани АЕ і висоти СD;
AE: 4х - 3у - 11 = 0, |x4 = 16x – 12y – 44 = 0.
СD: х + 4у – 23 = 0 |x3 = 3x + 12y – 69 = 0
19x - 113 = 0.
x = 113/19, y = (4*(113/19) – 11))/3 = 81/19.
Точка пересечения ((113/19; (81/19)).
7) рівняння прямої, що проходить через точку А, паралельно прямій ВС.
Уравнение этой прямой у = (-4/3)х + b.
Подставим координаты точки А(2; -1).
-1 = (-4/3)*2 + b.
b = (8/3) – 1 = 5/3.
Получаем уравнение у = (-4/3)х + (5/3).
Пошаговое объяснение:
