Question

Даны вершины треугольника АВС: A(5;1); B(-3;-1); C(7; -5)
Найти:
а) уравнение стороны AB;
б) уравнение высоты CH;
в) уравнение медианы AM;
г) точку N персечения медианы AM и высоты CH;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB;
е) расстояние от точки C до прямой AB

Answer 1

а) Уравнение стороны AB:

AB проходит через точки A(5,1) и B(-3,-1). Найдем коэффициенты a и b уравнения прямой, проходящей через эти точки:

a = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - 1) / (-3 - 5) = -1/4

b = y1 - a*x1 = 1 - (-1/4)*5 = 9/4

Уравнение стороны AB: y = -1/4x + 9/4

б) Уравнение высоты CH:

Найдем уравнение прямой, проходящей через точку C(7,-5) и перпендикулярной стороне AB. Направляющий вектор стороны AB: v(5 - (-3), 1 - (-1)) = (8, 2). Нормальный вектор к вектору v: n(-2, 8). Уравнение прямой, проходящей через точку C и перпендикулярной стороне AB: -2x + 8y + 51 = 0.

в) Уравнение медианы AM:

Медиана AM проходит через точки A(5,1) и M((5-3)/2, (1-1)/2) = (1, 1). Найдем уравнение прямой, проходящей через эти точки:

a = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (1 - 1) / (1 - 5) = 0

b = y1 - a*x1 = 1

Уравнение медианы AM: y = 1.

г) Точка N пересечения медианы AM и высоты CH:

Найдем координаты точки N, пересечения медианы AM и высоты CH. Решим систему уравнений:

y = -1/4x + 9/4 (уравнение стороны AB)

-2x + 8y + 51 = 0 (уравнение высоты CH)

y = 1 (уравнение медианы AM)

Из уравнения медианы следует, что y = 1. Подставим это значение в уравнение стороны AB:

1 = -1/4x + 9/4

-1/4x = -5/4

x = 5

Подставим найденное значение x в уравнение высоты CH:

-2*5 + 8y + 51 = 0

y = -5

Точка N имеет координаты (5,-5).

д) Уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB:

Найдем направляющий вектор стороны AB: v(5 - (-3), 1 - (-1)) = (