Допоможыть будьласка буду дуже вдячний
З вершини А рівнобедреного трикутника АВС (АВ=АС) до площини трикутника проведено перпендикуляр АD завдовжки 4 см. Відстань від точки D до сторони ВС дорівнює √41 см. Знайдіть АС, якщо ВС=24 см.
Ответы
Позначимо точку перетину перпендикуляру АD і сторони ВС як точку Е.
Так як трикутник АВС є рівнобедреним, то медіана АD також є бісектрисою кута BAC. Отже, ми можемо прийняти BD = CD = x.
За теоремою Піфагора в трикутнику ABD маємо:
AB² = AD² + BD²
Оскільки AB = AC, то ми можемо записати:
AC² = AD² + CD²
Також ми можемо знайти відстань між точкою D і стороною ВС за допомогою теореми Піфагора в трикутнику CDE:
DE² + CD² = CE²
Оскільки DE = AD - AE, а AE = AB/2 = AC/2, то ми можемо записати:
(AD - AC/2)² + x² = (24 - AC/2)²
Розкриваємо дужки та спрощуємо:
AD² - AC·AD + AC²/4 + x² = 576 - 24·AC + AC²/4
Переносимо все на один бік:
3AC²/4 - AC·AD + 24·AC - AD² - x² - 576 = 0
За допомогою формули рівняння квадратного тричлена знаходимо:
AC = (AD ± √(AD² + 4·x² - 4·(24 - AD)·576/9))/3
Підставляємо значення AD = 4 см та x² = 41 см вище та спрощуємо:
AC = (4 ± √457)/3
Так як AC є довжиною сторони трикутника, то ми приймаємо більшу з двох можливих значень:
AC = (4 + √457)/3 ≈ 7.22 см або AC = (4 - √457)/3 ≈ 2.11 см
Однак, з умови завдання, ВС = 24 см, що більше, ніж відрізок АD, тому сторона АС має бути довшою за сторону АВ, тобто AC > AB. Отже, правильна відповідь - довжина сторони AC дорівнює близько 13 см. Підставляємо значення AD = 4 см та x² = 41 см вище та спрощуємо:
AC = (4 + √657)/3 = 13 см