6 Знайдіть площу ортогональної проекції ромба ABCD на площину о, якщо сторона AD ромба належить площині а, діагоналі ромба дорівнюють 10 см і 24 см, а кут між площиною ромба i площиною а - 60°.
Ответы
Спочатку зобразимо ромб ABCD у тривимірному просторі і знайдемо його координати. Нехай точка A має координати (0, 0, 0), а точка D має координати (x, y, z).
Оскільки AD належить площині а, то координати точки D повинні задовольняти рівнянню площини а, тобто x + y + z = 0. Оскільки сторона AD ромба має довжину 10 см, то ми можемо записати наступну систему рівнянь для знаходження координат точки D:
x^2 + y^2 + z^2 = 24^2/4 = 144
(x - 10/2)^2 + y^2 + z^2 = 10^2/4 = 25
Розв'язуючи цю систему рівнянь, отримаємо, що x = ±3√3, y = ±3, z = ∓3√3. Таким чином, координати вершин ромба ABCD дорівнюють:
A (0, 0, 0)
B (3√3, 3, -3√3)
C (0, 6, 0)
D (-3√3, 3, 3√3)
Далі, зобразимо площину о і знайдемо вектор нормалі до цієї площини. Оскільки площина о проходить через точку A і перпендикулярна до площини а, то вектор нормалі до площини о співпадає з вектором нормалі до площини а, тобто вектором (1, 1, 1).
Для знаходження проекції ромба ABCD на площину о, необхідно проекціювати кожну з вершин ромба на площину о. Для цього можна знайти відстань від кожної вершини ромба до площини о і помножити цю відстань на проекцію вектора AB на вектор нормалі до площини о. За знайденими координатами вершин ромба, можна записати вектор AB як:
AB = <3√3, 3, -3√3>
Відстань від точки A до площини о дорівнює 0, тому проекція точки A на площину о також дорівнює точці А.
Для знаходження проекцій вершин B, C і D на площину о, необхідно спочатку знайти їх відстані до цієї площини. Відстань від точки P до площини, заданої рівнянням Ax + By + Cz + D = 0, можна знайти за формулою:
d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)
Для точки B маємо координати (3√3, 3, -3√3). Підставляючи їх у рівняння площини о, отримуємо:
1·3√3 + 1·3 - 1·3√3 + 0 = 3
Тому відстань від точки B до площини о дорівнює:
d_B = |3| / sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2) = 3 / √3
Аналогічно, знаходимо відстані від точок C і D до площини о:
d_C = |0 + 6 + 0 + 0| / sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2) = 2√2
d_D = |-3√3 + 3 + 3√3 + 0| / sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2) = 3 / √3
Тепер можна знайти проекції вершин ромба ABCD на площину о за формулою:
proj_O(P) = d_P · proj_N(AP)
де proj_N(AP) - проекція вектора AP на вектор нормалі до площини о, а d_P - відстань від точки P до площини о.
Для точки A проекція на площину о дорівнює самій точці A. Для точки B, вектор AB і вектор нормалі до площини о є колінеарними, тому проекція точки B на площину о дорівнює:
proj_O(B) = d_B · AB / |AB| = (3 / √3) · <-3√3, 3, 3√3> / 12 = <-√3/2, 1/2, √3/2>
Отже, маємо проекції всіх чотирьох вершин ромба ABCD на площину о: A, B̂ = <√3, 1, -√3/2>, Ĉ = <0, 2√2, 0>, D̂ = <-√3/2, 1/2, √3/2>.
Щоб знайти площу ортогональної проекції ромба ABCD на площину о, необхідно знайти площу нової фігури, утвореної проекціями вершин ромба. Ця фігура є паралелограмом, бо протилежні сторони паралельні.
Для знаходження площі паралелограма використаємо векторний добуток векторів, які його обмежують. За властивостями векторного добутку, модуль векторного добутку двох векторів дорівнює площі паралелограма, який вони обмежують. Тому площа паралелограма ABCD дорівнює:
S_п = |AB̂ × AD̂| = |<√3, 1, -√3/2> × <-√3/2, 1/2, √3/2>| = |<0, -3√2/2, -3√2/2>| = 3√2
Отже, площа ортогональної проекції ромба ABCD на площину о дорівнює 3√2 квадратних одиниць.