Question

1.Доведіть, що при будь-якому натуральному nвиконується рівність:1∙2+2∙3+3∙4+⋯+

Answer 1

Ответ:

$1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + \ldots + n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

Объяснение:

$1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + \ldots + n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

База, n = 1:

$1\cdot 2=2$

$\frac{1\cdot(1+1)\cdot(1+2)}{3}=\frac{1\cdot2\cdot3}{3}=2$

Перехід: припустимо, що

$1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + \ldots + n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

тоді

$1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + \ldots + n(n+1)+(n+1)(n+2)=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$

$1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + \ldots + n(n+1) +(n+1)(n+2)=$

$\frac{n(n+1)(n+2)}{3} + (n+1)(n+2) = (n+1)(n+2)(\frac{n}{3} + 1) =$

$(n+1)(n+2)\frac{n+3}{3}=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$

що й потрібно було довести.