Question

Прямокутну ділянку землі, яка прилягає до стіни будинку, потрібно обгородити парканом завдовжки 160 метрів. Знайти довжину прямокутника в метрах, за якої площа ділянки буде найбільшою.

Answer 1

Ответ:

При длине прямоугольного участка 80 м площадь будет наибольшей.

Пошаговое объяснение:

Прямоугольный участок земли, прилегающий к стене дома, нужно огородить забором длиной 160 метров. Найти длину прямоугольника в метрах, при которой площадь участка будет наибольшей.

Участок огорожен забором с трех сторон, так как он прилегает одной стороной к стене дома.

Пусть ширина прямоугольника - а м, а длина - b м.

Тогда длина забора, равная 160 м будет равна:

С = 2a + b = 160 (м)

⇒ а = (160 - b)/2 м

• Площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон.

                          S = ab

$\displaystyle S=\frac{160-b}{2}\cdot b =80b-\frac{1}{2}b^2$

Получили функцию зависимости S от b.

Найдем производную:

$\displaystyle S'(b) = 80 - \frac{1}{2}\cdot 2b=80 - b$

Приравняем производную к нулю и найдем корни.

80 - b = 0   ⇒   b = 80

Отметим эту точку на числовой оси и определим знаки производной на промежутках:

$+++[80]---$

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум.

b max = 80   ⇒   S наиб. = S (80) = 80 · 80 - 80²/2 = 6400 - 3200 = 3200 (м²)

При длине прямоугольного участка 80 м площадь будет наибольшей.

#SPJ1