Question

СРОЧНО
Поршень массой 5 кг может без трения перемещаться в вертикальном цилиндрическом сосуде, обеспечивая при этом его герметичность. Сосуд с поршнем, заполненный газом, покоится на полу неподвижного лифта при атмосферном давлении 100 кПа, при этом расстояние от нижнего края поршня до дна сосуда 20 см. Когда лифт поедет вниз с ускорением равным 2 м/с2, поршень сместится на 1,5 см. Какова площадь поршня, если изменение температуры газа не учитывать?

Answer 1

Дано:

m = 5 кг

р0 = 10⁵ Па

h1 = 0,2 см

Δh = 0,015 м

а = 2 м/с²

g = 10 м/с²

S - ?

Решение:

Составим уравнения по Второму закону Ньютона для поршня. В состоянии покоя (ось ОY направлена вниз) снизу на него действует сила давления газа F1, сверху - сила давления окружающего воздуха F0, к центру поршня приложена сила тяжести Fтяж:

F1 = р1*S

F0 = p0*S

Fтяж = mg

F0 + Fтяж - F1 = 0

p0*S + mg - р1*S = 0

При ускорении (ось ОY направлена вниз) на поршень действуют силы: снизу - сила давления газа F2, сверху - сила воздуха F0, в центре - сила тяжести Fтяж. Равнодействующая этих сил направлена вниз:

F0 + Fтяж - F2 = ma

p0*S + mg - p2*S = ma

Так как изменения температуры можно не учитывать, то газ в поршне меняет свои параметры по изотермическому закону - закону Бойля-Мариотта:

p*V = const => p1*V1 = p2*V2

Из этого уравнения выразим отношение давлений:

p1/p2 = V2/V1

Теперь из ранее составленных уравнений поршня выразим величины p1*S (в первом) и p2*S (во втором):

p0*S + mg - р1*S = 0

р1*S = p0*S + mg

p0*S + mg - p2*S = ma

p2*S = p0*S + mg - ma

p2*S = p0*S + m*(g - a)

Воспользуемся выражением отношения давлений:

p1/p2 = р1*S/(p2*S) = (p0*S + mg) / (p0*S + m*(g - a))

V2/V1 = (p0*S + mg) / (p0*S + m*(g - a))

Выразим объём через произведение площади S и высоты h:

V = S*h => V1 = S*h1, V2 = S*(h1 + Δh)

V2/V1 = S*(h1 + Δh) / (S*h1) = (h1 + Δh)/h1 = 1 + Δh/h1

Подставляем выражение в окончательное уравнение и упрощаем его, пока не получим выражение S:

1 + Δh/h1 = (p0*S + mg) / (p0*S + m*(g - a)) | * (p0*S + m*(g - a))

(p0*S + m*(g - a)) + (p0*S + m*(g - a))*(Δh/h1) = p0*S + mg

p0*S + m*(g - a) + p0*S*Δh/h1 + m*(g - a)*Δh/h1 = p0*S + mg

p0*S - p0*S + p0*S*Δh/h1 = mg - m*(g - a) - m*(g - a)*Δh/h1

p0*S*Δh/h1 = mg - mg + ma - (mg - ma)*Δh/h1

p0*S*Δh/h1 = ma + ma*Δh/h1 - mg*Δh/h1 | * (h1/Δh)

p0*S = ma*h1/Δh + ma - mg

p0*S = m*(a*h1/Δh + a - g)

S = (m/p0)*(a*h1/Δh + a - g) = (5/10⁵)*(2*0,2/0,015 + 2 - 10) = 0,0009333... = 0,00093 м² = 9,3 см²

Ответ: примерно 9,3 см².