Question

Змінити порядок інтегрування​

Answer 1

Решение.

$\bf \displaystyle \int\limits_{-2}^{-1}\, dy\int\limits_{-\sqrt{2+y}}^0\, f(x,y)\, dx+\int\limits_{-1}^0\, dy\int\limits_{-\sqrt{-y}}^0\, f(x,y)\, dx=$    

Пределы интегрирования :  

$\left\{\begin{array}{l}\bf -2\leq y\leq -1\\\bf -\sqrt{2+y}\leq x\leq 0\end{array}\right\ \ ,\ \ \ \left\{\begin{array}{l}\bf -1\leq y\leq 0\\\bf -\sqrt{-y}\leq x\leq 0\end{array}\right$  

Запишем уравнения линий , ограничивающих область, как функции , зависящие от  х .

$\bf x=-\sqrt{2+y}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x^2=2+y\ \ ,\ \ y=x^2-2\\\\x=-\sqrt{-y}\ \ \Rightarrow \ \ \ x^2=-y\ \ ,\ \ y=-x^2$

Тогда Область проектируется на ось ОХ в отрезок от  -1  до  0 , а переменная  у  изменяется в пределах  от  у=х²-2  до  у= -х² .

$\bf=\displaystyle \int\limits_{-1}^{0}\, dx\int\limits_{x^2-2}^{-x^2}\, f(x,y)\, dy$