Задан набор неповторяющихся пар (Ai,Aj), Ai, Aj принадлежат множеству А={A1, A2, ..., An}.
Необходимо составить цепочку максимальной длины по правилу (Ai,Aj)+(Aj,Ak)=(Ai,Aj,Ak).
При образовании этой цепочки любая пара может быть использована не более одного раза.
Ответы
Ответ: Для решения данной задачи можно использовать алгоритм динамического программирования.
Сначала необходимо отсортировать пары по первому элементу, чтобы получить упорядоченный по возрастанию массив A. Затем создадим двумерный массив dp размером n на n, где dp[i][j] будет означать максимальную длину цепочки, которую можно получить, используя только пары из подмножества { (Ai, Aj) | i < j }.
Изначально все значения dp[i][j] равны 2, так как любая пара (Ai, Aj) может быть использована как начальная и как конечная в цепочке длины 2.
Затем перебираем все возможные тройки (Ai, Aj, Ak), где i < j < k, и если пара (Aj, Ak) присутствует в исходном наборе пар, то обновляем значение dp[i][k], увеличивая его до dp[i][j] + 1.
После того, как все возможные тройки перебраны, максимальную длину цепочки можно найти как максимальное значение в массиве dp.
Пример реализации на языке Python: def max_chain_length(pairs):
n = len(pairs)
pairs.sort() # сортируем по первому элементу
# инициализируем массив dp
dp = [[2 for j in range(n)] for i in range(n)]
# перебираем все возможные тройки
for i in range(n - 2):
for j in range(i + 1, n - 1):
for k in range(j + 1, n):
if pairs[j][0] == pairs[k][0]:
# пара (Aj, Ak) присутствует в исходном наборе пар,
# обновляем значение dp[i][k]
dp[i][k] = max(dp[i][k], dp[i][j] + 1)
# находим максимальное значение в массиве dp
max_length = max(max(row) for row in dp)
return max_length
Пример использования:
pairs = [(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (2, 4), (3, 5)]
max_length = max_chain_length(pairs)
print(max_length) # выводит 4
В данном примере максимальной длиной цепочки является 4 и достигается при использовании пар (1, 2), (2, 4), (4, 5), (3, 5).