Question

три числа, сума яких дорівнює 24, утворюють арифметичну прогресію. якщо до другого числа додати 2, до третього додати 9. в перше залишити без змін, то нові три числа утворять геоме- тричну прогресію. запишіть цю геометричну прогресію.​

Answer 1

Ответ:

1) 5; 10 и 20  и  2) 20; 10 и 5.

Объяснение:

Три числа, сумма которых равна 24, образуют арифметическую прогрессию .  Если ко второму добавить 2, а к третьему добавить 9 , первое оставить без изменений, то новые три числа образуют геометрическую прогрессию . Записать эту геометрическую прогрессию.

Пусть даны три числа a,b, c , сумма которых равна 24. Тогда

a+b+ c = 24.

Если эти числа образуют арифметическую прогрессию, то по характеристическому свойству сумма крайних равна удвоенному среднему.

a+c = 2b.

Тогда получим 2b +b =24

                          3b = 24

                          b = 8

А сумма а +с =16. Отсюда следует  с = 16 - а

Если ко второму числу  b добавить 2, то получим ( b +2)

Если к третьему числу с  добавить 9, то получим ( с +9 )

Первое остается без изменений

Числа а;  ( b +2); ( с +9 )  образуют геометрическую прогрессию. По характеристическому  свойству геометрической прогрессии : произведение крайних равно квадрату среднего. Тогда получим:

a· (c+9 ) = ( b +2)²

Подставим найденные значения.

а ·(16 - а + 9) = (8+2)²;

а· ( 25- а) =10²;

25а - а² =100;

а² - 25а +100 = 0;

D = (-25) ² - 4· 1·100= 625 -400 = 225 = 15²

$a{_1}= \dfrac{25 - 15}{2} =\dfrac{10}{2} =5;\\\\a{_2}= \dfrac{25 +15}{2} =\dfrac{40}{2} =20$

Если а = 5, то с = 16 - 5 =11  , а   b = 8

и числа 5; 8 и 11 образуют арифметическую прогрессию

Если а = 20, то с = 16 - 20 = - 4  , а   b = 8

и числа 20; 8 и - 4 образуют арифметическую прогрессию

Найдем числа геометрической прогрессии .

В первом случае 5; 10 и 20  - это геометрическая прогрессия , знаменатель которой равен 2, а первый член 5 .

Тогда составим формулу n -члена геометрической прогрессии

$b{_n}= 5 \cdot 2^{n-1} =5\cdot \dfrac{2^{n} }{2} =2,5\cdot 2^{n}$

В втором  случае 20; 10 и 5  - это геометрическая прогрессия , знаменатель которой равен 1/2, а первый член 20 .

Тогда составим формулу n -члена геометрической прогрессии

$b{_n}= 20 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right) ^{n-1} =20\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \cdot 2}=40 \cdot 2^{-n}$

#SPJ1