Question

через точку A до кола проведено дотичну AB (B-точка дотику) і січну, яка перетинає коло в точках C і D (точка C лежить між точками A і D) знайдіть AD, якщо AB=18см, AC:CD=4:5​

Answer 1

Застосуємо теорему про дотичні до кола та їх хорди:
Для дотичної AB:
AB ⊥ AO (де O - центр кола), оскільки дотична до кола завжди перпендикулярна до радіуса, проведеного у точку дотику.
Також, оскільки AB - дотична, то кут BAO є прямим кутом, тобто трикутник ABO - прямокутний.
Для січної CD:
AC * CD = BC^2, оскільки хорда, що перетинає діаметр, ділить його на дві рівні частини, тому AC = CD.

Позначимо AC = 4k, CD = 5k. Оскільки AC = CD, то 4k = 5k, звідки k = 4см.

Тоді BC = 4k = 16см.

Позначимо точку перетину AD і BC як E. Оскільки трикутник ABO - прямокутний, то OE = OB - BE = R - BE, де R - радіус кола.

Оскільки точка C лежить на колі, то OB = OC = R.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику BCE:
BC^2 = BE^2 + CE^2
16^2 = BE^2 + (4k)^2
256 = BE^2 + 16^2
BE^2 = 256 - 16^2
BE = 8см.

Отже, OE = R - BE = R - 8.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику OAE:
OA^2 = OE^2 + AE^2
R^2 = (R - 8)^2 + AD^2
R^2 = R^2 - 16R + 64 + AD^2
AD^2 = 16R - 64

Також ми знаємо, що AC + CD = AD, тому:
4k + 5k = 9k = AD

Отже, маємо систему рівнянь:
AD = 9k
AD^2 = 16R - 64

Підставляємо значення k:
AD = 9 * 4 = 36см
AD^2 = 16R - 64

Підставляємо AD^2 у друге рівняння:
(36)^2 = 16R - 64
R = 37см

Отже, AD = 36см