Question

Определите вид вид треугольника со сторонами a,b,c , для которых верно :
a³ + b³ = c³
(остроугольный, тупоугольный , прямоугольный) или доказать что его невозможно определить.

Answer 1

Ответ:

Остроугольный т реугольник.

Объяснение:

a³+b³=c³⇒ c  - наибольшая сторона треугольника. Рассмотрим подобный ему треугольник с большей стороной, равной 1. Чтобы не вводить новые обозначения, будем считать, что изначально нам дан треугольник со сторонами a, b и c, причем c=1, а две другие стороны меньше 1, причем a³+b³=1. Докажем, что угол, лежащий против большей стороны, острый; в этом случае будет автоматически доказано, что два других угла тоже острые (ведь известно, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол) и тем самым треугольник остроугольный.

По теореме косинусов    

                                   $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma,$

а поскольку c=1, мы имеем систему

                                          $\left \{ {{1=a^3+b^3} \atop {1=a^2+b^2-2ab\cos \gamma}} \right.,$

откуда

             $a^3+b^3=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\Rightarrow \cos\gamma=\dfrac{(a^2-a^3)+(b^2-b^3)}{2ab} > 0.$

Положительность косинуса следует из того, что поскольку a и b положительные числа, меньшие 1, то a²>a³, b²>b³.

Ну а раз косинус гамма положителен, гамма - острый угол,  а тогда, как уже было написано, другие углы и подавно острые, то есть треугольник остроугольный.