Циліндрична банка має висоту 15 см, а периметр її круглої основи дорівнює 30 см. Мураха повзе від точки А на нижній основі до точки В на верхній. Її шлях або вертикально вгору, або горизонтально вздовж дуг навколо банки. Цей шлях показано товстішою лінією (чер-
вона для шляху на видимій частині банки та синя на невидимій). Чому дорівнює довжина
шляху мурахи в см?
Ответы
Знайдемо радіус круглої основи банки:
�
=
2
�
�
=
30
⇒
�
=
15
�
P=2πr=30⇒r=
π
15
Позначимо відстань між точками А та В як $d$.
Якщо мураха підніматиметься вертикально, то $d$ буде дорівнювати висоті банки, тобто $d=15$ см.
Якщо ж мураха повзатиме по дуговій лінії навколо банки, то шлях можна розділити на дві частини: дуга на видимій частині банки та дуга на невидимій.
Радіус круга, утвореного видимою частиною дуги, можна знайти за допомогою теореми Піфагора:
�
1
=
(
15
2
)
2
−
(
�
2
)
2
r
1
=
(
2
15
)
2
−(
2
d
)
2
Аналогічно, радіус круга, утвореного невидимою частиною дуги, буде рівним $r_2=\frac{15}{2}-r_1$.
Тоді довжина шляху мурахи, яка повзає по дуговій лінії, буде дорівнювати сумі довжин дуг на обох частинах банки:
�
=
2
�
�
1
+
2
�
�
2
=
2
�
(
�
1
+
15
2
−
�
1
)
=
15
�
l=2πr
1
+2πr
2
=2π(r
1
+
2
15
−r
1
)=15π
Отже, якщо мураха повзатиме по дуговій лінії, то довжина її шляху буде дорівнювати $15\pi$ см. Оскільки $15\pi \approx 47.12$, то довжина шляху буде більшою, ніж у випадку вертикального підйому.