Допоможіть будь ласка!!!!Даю 90 балів!
Довести нерівності: 1) a+b>2ab 2) x²-10x+27>0 3) 2a +4(3a - 1) < 1 + 14(a + 1). 4) a²+b²>2(a+b-1) 5) (a+b)(ab+1)≥4a b, a>0, b>0
Ответы
Ответ:1) У нас есть:
а+б>2(аб)
а+б-2аб>0
Фактор левой части:
(а-2б)(1-б)>0
Чтобы это неравенство было верным, мы должны иметь либо:
a-2b>0 и 1-b>0, что дает:
б<1 и а>2б
или
a-2b<0 и 1-b<0, что дает:
б>1 и а<2б
Следовательно, неравенство верно для всех пар (a,b), удовлетворяющих одному из указанных выше условий.
2) У нас есть:
х²-10х+27>0
Фактор левой части:
(х-5)²+2>0
Поскольку (x-5)² всегда неотрицательно, неравенство верно для всех x.
3) У нас есть:
2а +4(3а - 1) < 1 + 14(а + 1)
Упрощать:
2а +12а - 4 < 1 + 14а + 14
14а - 2а < 1 + 14 + 4
12а < 19
а < 19/12
Следовательно, неравенство верно для всех a<19/12.
4) У нас есть:
а²+b²>2(а+b-1)
Упрощать:
а²+b²-2а-2b+2>0
(а-1)²+(б-1)²>0
Это верно для всех пар (a,b), кроме (1,1).
5) У нас есть:
(а+б)(аб+1)≥4аб
Упрощать:
а²b+ab²+а+b≥4ab
a²b-ab²+a-b≥0
(а-б)(аб-1)+(а-б)≥0
(а-б)(аб-1+1)≥0
(а-б)(аб)≥0
Поскольку a и b положительны, ab положительно, и мы должны иметь a≥b, чтобы это неравенство было верным.
Объяснение: в ответе