Точки М і Р лежать відповідно на сторонах АВ і ВС трикутника АВС, АВ•РВ=СМ•МВ. Доведіть що МРПАРАЛЕЛЬНІ АС
Ответы
Ответ:
Враховуючи, що точки M і R знаходяться на сторонах AB і BC трикутника ABC відповідно, а AB × RV = CM × MV, потрібно довести, що MR паралельна AC.
Одним із способів довести це є використання подібних трикутників. Нехай трикутник ABE подібний до трикутника CBV, а трикутник ABR подібний до трикутника CMP, де E і P — точки на сторонах AC і BC відповідно. Зверніть увагу, що відношення довжин сторін подібних трикутників однакове, тому маємо:
AB / CB = AE / CV (1) AB / BR = CM / CP (2)
Перемноження рівнянь (1) і (2) дає:
(AB / CB) × (AB / BR) = (AE / CV) × (CM / CP)
AB2 / CB × BR = AE × CM / CV × CP
Але ми знаємо, що AB × RV = CM × MV, тому заміна та спрощення дає:
AB2 / CB × BR = AE / CV × AB × RV / CP
BR / CP = AE / AB × CB / CV = (AE / AC) × (AC / AB) × (CB / CV) = EP / AP × BV / BE
Отже, трикутник APB подібний до трикутника ECB, і ми маємо:
PB / EC = AB / BC (3)
Перемноження рівнянь (1), (2) і (3) дає:
AB2 / BC × BR / CP × PB / EC = (AE / CV) × (CM / MV) × (AB / BC)
Але ми знаємо, що AB × RV = CM × MV, тому заміна дає:
AB2 / BC × BR / CP × PB / EC = (AE / CV) × (AB / BC) × (AB × RV / CM)
Спрощення дає:
BR / CP × PB / EC = AE / CV × AB / BC × RV / CM
Ми також знаємо, що трикутник RPB подібний до трикутника EPC, тому ми маємо:
PB / EC = BR / CP
Підстановка дає:
BR2 / CP2 = AE / CV × AB / BC × RV / CM
Але ми також маємо:
AB / BC = AE / AC × sin(C) (4)
Використовуючи закон косинусів у трикутнику ABC, маємо:
BC2 = AB2 + AC2 - 2 × AB × AC × cos(C)
Підставляючи рівняння (4), отримуємо:
AB / BC = AE / AC ×