Question

3. Знайти площу фігури, обмеженої лініями: y=x² +2; y=x+4

Answer 1

Щоб знайти площу фігури, обмеженої лініями y = x² + 2 та y = x + 4, спочатку потрібно знайти точки перетину цих ліній. Для цього ми розв’язуємо рівняння x² + 2 = x + 4. Переносячи всі члени в один бік ми отримуємо рівняння x² - x - 2 = 0. Знаходимо дискримінант D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 9. Оскільки D > 0, то рівняння має два кореня: x1 = (-b + √D) / (2a) = (1 + √9) / (2 * 1) = 2 та x2 = (-b - √D) / (2a) = (1 - √9) / (2 * 1) = -1.

Тепер можемо знайти площу фігури як різницю інтегралів: S = ∫[x=-1 до x=2] ((x+4)-(x²+2)) dx. Обчислюючи цей інтеграл ми отримуємо S=∫[x=-1 до x=2] ((x+4)-(x²+2)) dx=∫[x=-1 до x=2] (-x²+x+2) dx=[-x³/3+x²/2+2x](-1 до 2)=(-8/3+4/3)+(8/3+8/3)=9/3=3.

Отже, площа фігури обмеженої лініями y=x² +2; y=x+4 дорiвнює 3 квадратних одиниць.